Односторонние пределы функции

Пусть конечное число. В определении предела функции аргумент  стремится к  любым способом: колеблясь около , оставаясь меньше  или больше . Иногда важен способ приближения  к : слева  или справа . Тогда вводят понятие левостороннего предела  и правостороннего предела  следующим образом:

 если для  такое, что  для

 если для  такое, что  для

Сформулируем очевидное утверждение:

Теоремы о функциях, имеющих конечный предел

Пусть  число или один из символов

Теорема 4.1(о единственности предела). Если существует конечный предел функции  при , то он единственен.

 

 

 

Теорема 4.2.(об ограниченности функции, имеющей конечный предел).

Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой выколотой окрестности точки .

Теорема 4.3 (о пределе монотонной ограниченной последовательности).

Если последовательность   возрастает и ограничена сверху, тоона имеет конечный предел при .

Если последовательность   убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел при .

 

Теорема 4.4 (о сохранении неравенства).

Если  то  в некоторой выколотой окрестности точки

Если  то  в некоторой выколотой окрестности точки

Теорема 4.5 (о предельном переходе в неравенстве).

Пусть существует .

Если  в некоторой выколотой окрестности точки , то .

Если  в некоторой выколотой окрестности точки , то .

Теорема 4.6(о промежуточной функции). Пусть  и  в некоторой выколотой окрестности точки  Тогда .

Теорема 4.7(о пределе суммы, произведения, частного).

Пусть существуют конечные пределы  и . Тогда

1) , 2) ,

3) ,  4)  если .

 

Теорема 4.8(о пределе сложной функции).

Пусть  есть суперпозиция функций  и . Если существуют конечные пределы  и , то существует предел сложной функции  при  и .

Для формулировки теоремы о пределе элементарной функции отметим, что элементарная функция получается из основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической, обратных тригонометрических) с помощью арифметических операций и суперпозиции.

 

 

Теорема 4.9 (о пределе элементарной функции). Пусть элементарная функция  определена в точке  и ee окрестности. Тогда .

 

Бесконечно малые функции

Определение и основные свойства

Функция  называется бесконечно малой при , если

Рассмотрим ряд свойств бесконечно малых функций.

 

Теорема 5.1 (о связи функции с ее конечным пределом).  ( конечное) тогда и только тогда, когда , где бесконечно малая функция при .

 

Теорема 5.2(о произведении бесконечно малой функции на ограниченную).

Пусть функция  − бесконечно малая при , а функция  − ограничена в некоторой выколотой окрестности точки . Тогда произведение этих функций  является бесконечно малой функцией при

 

Теорема 5.3(о сумме, разности, произведении бесконечно малых).

Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при  есть функция бесконечно малая при .

Отношение бесконечно малых.

Неопределенность

В отличие от суммы и произведения, отношение бесконечно малых функций может иметь любой предел или даже его не иметь. Например, для функций , являющихся бесконечно малыми при , имеем:

,

Поэтому отношение бесконечно малых функций называют неопределенностью вида . Отыскание предела в случае неопределенности называют раскрытием неопределенности.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется  Он является неопределенностью .

Покажем, что

.                                 (5.1)

Это равенство называют первым замечательным пределом.

 

Следствие:  

Сравнение бесконечно малых

Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по «быстроте» стремления к нулю. Так, например, из двух функций  и  − бесконечно малых при , функция  стремится к нулю «быстрее», чем . Уточним, какой смысл вкладывается в слово «быстрее».

Пусть  и бесконечно малые функции при .

1). Если  конечен и отличен от нуля, то  и называют бесконечно малыми одного порядка и обозначают так:  при .

В частности, если  то  и называют эквивалентными бесконечно малыми и обозначают так: ~  при .

2). Если  то  называют бесконечно малой более высокого порядка, чем  и обозначают так:  при .

3). Если  то  и  будет бесконечно малой более

высокого порядка, чем  при .

4). Если  не существует, то  и называют несравнимыми бесконечно малыми при .

при .

Это вытекает из первого замечательного предела и его следствия.

 

Теорема 5.4 (об эквивалентных бесконечно малых). Пусть  при . Тогда

 

 

Бесконечно большие функции