Вычисление дифференциалов высших порядков

Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:

, то есть

 .                                          

Аналогично вычисляется дифференциал любого −го порядка:

 .                                      

Дифференциалы сложной функции

Приведенные выше формулы справедливы только, если независимая переменная. Теперь рассмотрим случай, когда , где зависимая переменная. Тогда функция сложная функция аргумента  и для ее дифференциала получим:

.

Форма дифференциала первого порядка  имеет один и тот же вид (то есть инвариантна ) и в случае, когда зависимое переменное, и в случае, когда независимое переменное.

 

Теоремы о среднем

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая «средняя» точка, поэтому их называют теоремами о среднем. Иногда, в силу их значимости, эти теоремы называют основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема Ролля. Пусть функция  

1) непрерывна на отрезке  2) дифференцируема на интервале ,

3) на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда найдется хотя бы одна точка , в которой производная  обращается в нуль, т.е. .

 

Теорема Лагранжа. Пусть функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Тогда найдется хотя бы одна точка  такая, что

 или .                 

.

 

Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

 

 

Теорема Коши. Пусть функции  и

1) непрерывны на отрезке  2) дифференцируемы на интервале ,

3)  на . Тогда найдется хотя бы одна точка  такая, что

.

.

9.2.Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида  или  с использованием производных и выводится с помощью рассмотренной теоремы Коши.

Теорема Лопиталя. Пусть 1) в выколотой окрестности точки  функции  дифференцируемы и  2) существует .

Тогда, в случае неопределенности  или , справедливо правило Лопиталя:

.

Формула Тейлора

Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию  многочленом , близким к  в окрестности точки ,в том смысле, что

.               

Введем ряд понятий.

1). Многочлен , удовлетворяющий условию (9.3), называется многочленом Тейлора −го порядка функции   в окрестности точки _.

2). Разность между функцией  и её многочленом Тейлора  обозначают : .

3). Формула , где −многочлен Тейлора, называется формулой Тейлора n -го порядка для функции ,   называется остаточным членом формулы Тейлора.

 

Теорема 9.1 (о виде многочлена Тейлора).

Пусть функция  дифференцируема  раз в окрестности точки . Тогда многочлен Тейлора го порядка функции  имеет вид:

.                           

Используя вид многочлена Тейлора, запишем формулу Тейлора  − го порядка:

 .                            

При  формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

        

Рассмотрим вид остаточного члена  формулы Тейлора.

Теорема 9.2(об остаточном члене в форме Пеано).

Пусть функция  дифференцируема  раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора имеет вид:

 при .                            

 .

Эту формулу будем называть асимптотическим разложением  го порядка функции  в окрестности точки .

 

Теорема 9.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).

Пусть функция  дифференцируема   раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме

,           (9.10)

где  – некоторая точка между   и .

 

 

Асимптотические разложения

Элементарных функций

 

                             

 

 

.       

        

.                    

 

.