Геометрический и физический смысл производной

Рассмотрим на кривой  точки  и секущую  . При движении точки  по этой кривой к точке  секущая  займет свое предельное положение .

Касательной к данной кривой в точке  называется прямая , являющаяся предельным положением секущей  при стремлении точки  по кривой к точке .

Найдем угловой коэффициент  невертикальной секущей и угловой коэффициент  невертикальной касательной:

,

.

Из этого равенства вытекает геометрический смысл производной.

Значение производной  равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой  в точке  с абсциссой : .

 

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной к кривой, называется нормалью к этой кривой. Угловой коэффициент нормали

.

Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид:

 , где .

Уравнение нормали к кривой  в точке  имеет вид:

.

Физический смысл производной заключается в том, что значение производной  есть скорость изменения функции  в точке . Поэтому

1) если задан закон движения материальной точки по прямой , то скорость движения , а ускорение  есть «скорость изменения скорости», то есть ;

2) если  есть количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то  есть сила тока;

3) если  есть количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время , то  есть скорость химической реакции.

Дифференцируемые функции. Дифференциал

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  представимо в виде: , где  не зависит от , а функция  является бесконечно малой при

Линейная относительно  часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается , то есть .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 8.1. Функция  дифференцируема в точке  тогда и только тогда, когда существует конечная производная ; при этом .

 , .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Если функция дифференцируема, то она непрерывна.

Действительно, для дифференцируемой функции . Отсюда следует, что бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть, функция  непрерывна.

Непрерывная функция может не быть дифференцируемой.

Производная суммы, произведения, частного

Отыскание производных непосредственно по определению неудобно и сложно. Для этого существуют ряд правил и формул.

Теорема 8.2. Пусть функции  − дифференцируемы. Тогда сумма, разность, произведение этих функций, а при  и частное, будут дифференцируемы, причем

, ,  .

 

 Дифференциалы суммы, произведения, частного дифференцируемых функций  вычисляются по формулам:

, , .

Производная сложной функции

Пусть , а . Тогда сложная функция с промежуточным аргументом , независимым аргументом .

Теорема 8.3. Пусть функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция  дифференцируема в точке  и для ее производной справедлива формула: .

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.