Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Функция  называется первообразной для функции  на промежутке , если в каждой точке этого промежутка

.                                

 

Теорема 12.1. Пусть функция  является первообразной для функции .

Тогда функции  ( произвольная постоянная) и только они являются первообразными для .

Множество всех первообразных  функции  называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Таким образом,

  ,                              

где  – первообразная для функции  на промежутке .

Функция  называется подынтегральной функцией, выражение  называется подынтегральным выражением, переменная  называется переменной интегрирования, число  – постоянной интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная константа:

.

Это свойство иногда записывают по-другому:

.

4. Постоянный множитель  можно вынести за знак неопределенного интеграла:

.

5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

.

Это свойство справедливо также для любого конечного числа слагаемых.

6. Свойство инвариантности: вид формулы интегрирования останется неизменным (инвариантным), если независимую переменную x заменить любой дифференцируемой функцией , то есть

если то .

Таблица основных интегралов

1. .

2. .

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

 

Основные методы интегрирования

Метод подведения под знак дифференциала

Этот метод применяется для вычисления интегралов вида . Воспользуемся тем, что . При этом говорят, что мы подвели функцию  под знак дифференциала. Если еще сделать замену , то мы получим интеграл более простой, чем первоначальный:

 .          

После нахождения этого интеграла следует вернуться к переменной , заменив  на .

Отметим, что при подведении функции под знак дифференциала преждевсего используется определение дифференциала и два его свойства

                            

  ,                                  

 

 .                            

Рассмотрим, как подвести под знак дифференциала некоторые функции:

,        ,

,             ,

,                        ,

,             .

.

Метод замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

     Пусть функция  непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию . Тогда

  .                       

Выражение, стоящее в правой части этой формулы, означает, что после отыскания интеграла вместо  нужно подставить его выражение через .

 

При замене переменной в интеграле  нужно

а) заменить переменную   на функцию , заменить  на ,

б) вычислить получившийся интеграл,

в) результат выразить через первоначальную переменную .

Укажем некоторые рекомендации по выбору новой переменной. Пусть −рациональная функция, полученная из  с помощью сложения, вычитания, умножения, деления. Приведем рекомендации по выбору новой переменной.

Тип интеграла	Замена
	,  - наименьшее общее кратное чисел