Взаимная обратимость частоты и времени

в преобразовании Фурье

1. Пусть s(t) — четная функция относительно времени.

 Тогда . Так как второй интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Т. е. функция S(W) является вещественной и четной относительно W.

2. Пусть s(t) — нечетная функция относительно времени. При этом в нуль обращается первый интеграл и . В этом случае S(W) является нечетной и чисто вещественной.

3. Пусть . При этом , где А и В четная и нечетная функции соответственно.

           Если предположить, что s(t) — четная функция. Запишем s(t) в виде . Произведем замену W на t и t на W, получим .

           Если спектр имеет форму какого сигнала, то тогда сигнал соответствующий этому спектру повторяет форму спектра подобного сигнала.

8. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала. Равенство Парсеваля. Примеры определения спектров одиночных импульсов

1) Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Пусть S(t) и g(t) представляет собой одно и то же колебание S(t) =>

=[Произвольные F(w) и ; F(w)* =S(w)* = ]=  –Равенство Парсеваля

2) Примеры определения спектров одиночных импульсов

Прямоугольный импульс

Определяется выражением

 

Колоколообразный (гауссовский) импульс

           Определяется выражением . Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне е^-1/2 от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса .

           Спектральная плотность сигнала .

, где . 

           Ширина спектра импульса

           Гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии. Для него соотношение длительности импульса и полосы пропускания является оптимальным, т. е. при данной длительности импульса гауссовский импульс имеет минимальную полосу пропускания.

Дельта-импульс (единичный импульс)

           Сигнал задан соотношением . Ее можно получить из вышеперечисленных импульсов путем устремления t_и к нулю.

           Известно, что , следовательно спектр такого сигнала будет постоянным (это есть площадь импульса, равная единице).

           Для создания такого импульса необходимы все гармоники.

Экспоненциальный импульс

           Сигнал вида , c>0.

Спектр сигнала находится следующим образом

Запишем сигнал в другой форме .

           Если , то . Это означает, что мы получим единичный скачек. При получаем следующее выражение для спектра сигнала .

 

Отсюда модуль

,

а фаза

1.  Длительность сигнала и ширина спектра. Спектры некоторых неинтегрируемых импульсов.

Чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов. По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала Тэф можно определить выражением

Где середнина импульса t₀ определяется из условия:

Аналогично эффективная ширина спектра определяется выражением:

Так как модуль спектра S(w) не зависит от смещения s(t) во времени, можно положить

 t₀ = 0. Наконец, сигнал s(t) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно

Нужно иметь в виду, что Тэф и Ωэф являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от t = t₀ и w = 0. Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 2Tэф, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) —

величине 2Ωэф.

Произведение ТэфΩэф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2.

Условие применимости преобразований фурье заключается в абсолютной интегрируемости сигнала  Это условие ограничивает класс сигналов, для которых можно применять преобразование Фурье непосредственно. Пример – гармонические колебания, единичный скачок и другие.

10. Представление сигналов на плоскости комплексной частоты. Преобразование лапласа.