Виды случайных сигналов. Гауссовский случайный процесс

Гармоническое колебание со случайной амплитудой.

Пусть в выражении частота  и начальная фаза  являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А – случайная, равновероятная в интервале от 0 до  величина.

Одномерная плотность вероятности p(x; )для фикс-го момента времени  ,мгновенное значение x  ) может быть любым в интервале от 0 до , причем

График функции для фик-го значения

Математическое ожидание

Дисперсия

Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодический.

Гармоническое колебание со случайной фазой.

Одна из реализаций случ-го процесса х(t), образуемого совокупностью гарм-их колебаний со случ-ми фазами:

Математическое ожидание процесса со случайной фазой не зависит от момента выбора временного сечения, корреляционная функция не зависит от положения r=(t2-t1), поэтому гармоническое колебание со случайной фазой можно считать стационарным процессом. Кроме того результатом усреднения по времени и по множеству реализаций равны между собой (=0) поэтому процесс и эргодический.

Гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой.

Аналогично. Такой случайный процесс стационарный, но неэргодический. Т.к. различные реализации обладают неодинаковой дисперсией.

Гауссовский случайный процесс.

Нормальный (гауссовский) процесс особенно характерен для помех канала связи. Случ-ые процессы, распределение которых не сильно отличается от нормального, заменяют гауссовским. Одном-ая плот-ть вер-ти норм-го процесса:

Рассмотрим стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому  и   - соответственно постоянная составляющая и средняя мощность флуктуационной составляющей одной реализации случ-го процесса. Графики плот-ти вер-ти при нормальном законе для некоторых значений 

Фунция р(х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше , тем меньше максимум, а кривая становится более пологой (площадь под кривой р(х) равна 1при любых значениях ).

Широкое распространение нормального закона распр-ия объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случ-ых величин распр-ие суммы близко к норм0му при любом распр-ии отдельных слагаемых. Это положение сформулировано Ляпуновым в 1901 и называется центральной предельной теоремой.

Примерами случ-го процесса с норм-ым законом распр-ия являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи или дробовым эффектом в электронных приборах. Полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа незав-ых случ-ых элементарных сигналов, например гармон-их колебаний со случ-ой фазой или амплитудой, часто можно трактовать как гауссовские случ-ые процессы.

Вероятность пребывания значения х(t) в интервале от a до b определяется

Функция   называется интегралом вероятностей.