Нормализация суммы независимых случайных процессов

???????

25) Принципы экспериментального определения плотности вероятности

Если процесс эргодический, то его реализация – это «типичный»представитель статист.ансамбля.
Одномерная плотность вероятности эргодического случ.проц-са есть величина, пропорциональная относительному времени пребывания его реализации в уровне между .
Прибор для измерения одномер. плотности вер-ти случ. процесса:
Устройство с двумя входами, на один из которых подается исследуемая реализация х(t), а на другой – опорное постоянное напряжение, уровень которого можно регулировать. На выходе устр-ва возникают прямоугольные видеоимпульсы постоянной амплитуды, начало и конец которых определяется моментами времени, когда текущие значения случ.сигнала совпадают либо с уровнем , либо с уровнем . Если теперь измерить с помощью обычного стрелочного прибора среднее значение тока, создав.послед-тью видеоимпульсов, то показания этого прибора будут пропорциональны плотности вероятности р( ).
Любой достаточно инерционный стрелочный прибор может быть использован для изм-ия мат.ожидания.
Прибор, измеряющий дисперсию, должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Следующий этап изм-ия – возведение в квадрат и усреднении по времени
(выпол-ся инерционным квадратичным вольтметром).
Принцип работы измерителя функции корреляции: мгновенные значения случ.сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на 2 канала, поступают на перемножитель, прием в одном из каналов сигнал задерживается на . Для получения значения функции кор-ции сигнал с выхода перемножителя обр-ся инерционным звеном, которое осущ-ет усреднение.

Спектральная плотность мощности случайного процесса. Соотношение между спектральной плотностью мощности и корреляционными функциями.

Спектральная плотность мощности

Случайного процесса

           Спектральная плотность сигнала может быть определена только для постоянного процесса. Для случайного процесса это невозможно поэтому используют спектральную плотность мощности.

           Пусть имеется k-ая реализация случайного процесса Х_К(t). Ограничим ее отрезком времени Т. Теперь это усеченная k-ая реализация Х_КТ(t). Найдем спектральную плотность Х_КТ(w) для Х_КТ(t). Отсюда энергия на рассматриваемом участке по равенству Парсеваля:

Получим среднюю мощность реализации на отрезке Т поделив выражение на Т:

При увеличении Т энергия возрастает, но отношение Э_КТ / Т остается постоянным.

Отсюда  –– спектральная плотность мощности. Это предел спектральной плотности усеченной реализации деленной на время Т. Это запись для эргодического процесса.

–– среднее значение квадрата процесса.

Если , то .

 

Теорема Винера – Хинчина

           Это есть соотношение между энергетическим спектром и корреляционной функцией случайного процесса.

Это прямое и обратное преобразование Фурье, соответственно.

При

чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.