Классификация и приведение к каноническому виду.

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

II. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнение поперечных колебаний струны.

Физическая интерпретация

       А). Распространение волны отклонения

При нулевой начальной скорости   из формулы Даламбера получаем

В этом случае колебания представляют собой процесс распространения начального отклонения .

Функция вида  в физике называется распространяющейся волной – неизменный профиль  перемещается вправо со скоростью . Аналогично функция  представляет неизменный профиль , перемещающийся влево со скоростью .

Значит, решение  представляет собой сумму двух полуволн: прямой, бегущей вправо со скоростью , и обратной, бегущей влево с той же скоростью. При этом начальная форма обеих волн определяется функцией  – половиной начального отклонения .

Рассмотрим фазовую плоскость .

Линии  суть характеристики.     Функция  сохраняет постоянное значение на характеристиках , а функция  – на характеристиках .

Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке , а вне этого промежутка равно нулю.

Характеристики  и  представляют собой передний и задний фронты прямой волны, а характеристики  и  – соответственно передний и задний фронты обратной волны. Эти характеристики разбивают фазовую плоскость на несколько областей. Через область  проходит прямая (обратная) волна, а в области  взаимодействуют обе волны. В область  (и ) до некоторого момента времени  еще не дошла прямая (обратная) волна; через область с некоторого момента  волны уже прошли и наступил покой.

 

Б). Распространение волны импульса

При нулевом начальном отклонении  колебания вызываются начальной скоростью (или импульсом)  и решение задачи Коши можно представить в виде разности обратной и прямой волны:

Здесь  –  первообразная функции .

Например, пусть  и тогда

       Графики функций   и   приведены на рисунке.

Начальный импульс                                  Функция   – профиль волны

Полуограниченная и ограниченная струна.

Метод продолжения.

Задача о распространении волн на полуограниченной прямой  важна при изучении процесса отражения волны от края. Рассмотрим, например, задачу о распространении начального возмущения в струне с закрепленным краем.

Найдем решение уравнения колебаний

удовлетворяющее начальным условиям

и одному из граничных условий    (или ).

Непосредственно воспользоваться формулой Даламбера мы не имеем права, т.к. заданные начальные функции  и  определены только на полупрямой . Для возможности применения решения Даламбера следует продолжить начальные данные влево от . С физической точки зрения это означает, что мы хотим задать такое начальное возмущение бесконечной струны, чтобы колебания ее участка  были такими же, как если бы конец  был закреплен (или свободен).

В случае закрепления конца  (граничное условие ) начальные данные следует продолжить на всю прямую нечетным образом. Тогда из формулы Даламбера при  получается

в силу нечетности функций  и .

В случае свободного конца (граничное условие ) начальные данные следует продолжить на всю прямую четным образом.

Тогда из формулы Даламбера при  получаем

так как производная  от четной функции является нечетной.

Например, пусть в задаче для полубесконечной струны с закрепленным краем начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке  и имеет форму треугольника; начальная скорость равна нулю. Строим нечетное продолжение начального отклонения и смотрим, что происходит на фазовой плоскости (нас интересует реальная струна, то есть область ). На рисунке совмещены фазовая плоскость  и плоскость . В заштрихованных полосах отклонение отлично от нуля. Знаки плюс и минус указывают на знак фазы отклонения.

Здесь область  – процесс отражения обратной волны от закрепленного края, область  – отраженная волна (в противофазе).

Чтобы воспользоваться формулой Даламбера для ограниченной струны , продолжаем начальные данные для закрепленных концов нечетным образом влево от  и вправо от . Для свободных концов продолжаем начальные данные четным образом.

 

Задачи для самостоятельного решения

I. Решить следующие уравнения:

1) . Ответ: .

2) . Ответ:

3) . Ответ: .

4) . Ответ: .

5) .

Ответ: .

6) . Ответ: .

7)

Ответ:

II.  Пользуясь формулой Даламбера, решить задачи:

1)

Ответ:

2)

Ответ:

III. Решить задачу Коши (найти решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

1) ,

.

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3)

Ответ:

4)

Ответ: .

IV. Применить метод распространяющихся волн для решения задач.

1) Колебания бесконечной струны вызваны начальным отклонением

Начальная скорость и внешняя возмущающая сила равны нулю. Построить профиль струны в момент времени  На фазовой плоскости проследить за процессом при изменении  от 0 до  (вдоль вертикали) и при изменении  от  до  (вдоль горизонтали).

 

2)  Бесконечной струне на отрезке  сообщена поперечная начальная скорость , вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Построить профиль струны для моментов времени

 

3) Полубесконечная струна, закрепленная в конце , возмущена начальным отклонением (см. рис.). Построить профиль струны для моментов времени  На фазовой плоскости проследить за процессом.

4) Конечная струна, закрепленная на концах , , возмущена начальным отклонением (см. рис.). Построить профиль струны для моментов времени  На фазовой плоскости проследить за процессом.

 

 

Задача Штурма – Лиувилля

А). Постановка задачи

Применение метода Фурье к решению задач математической физики (уравнений любого из трех типов) приводит к краевым задачам для обыкновенного линейного дифференциального однородного уравнения второго порядка, содержащего параметр. С нулевыми граничными условиями такие задачи, как правило, при любом значении параметра имеют тождественно равное нулю решение. Но при некоторых значениях параметра возможны и нетривиальные решения. В этих задачах требуется найти такие значения параметра, при которых существует отличное от нуля решение однородного уравнения, удовлетворяющее на концах отрезка однородным граничным условиям.

Сформулируем задачу Штурма-Лиувилля (Ш. – Л.):

Найти значения параметра  при которых уравнение

                          (1)

имеет нетривиальные решения  удовлетворяющие однородным краевым условиям

,                            (2)

и найти эти решения.

 

Б). Нахождение собственных значений и собственных функций.

Пусть выполнены условия регулярности:  при  Предполагается, что решение задачи  Значение параметра  при котором существует нетривиальное решение задачи Ш. – Л., называется собственным значением, а соответствующее нетривиальное решение   собственной функцией.

При сделанных предположениях существует фундаментальная система решений ,  уравнения (1). Общее решение этого уравнения имеет вид

                                      (3)

Здесь  – произвольные постоянные. Так как нас интересуют только нетривиальные решения, то должно быть .

Подставим функцию (3) в краевые условия (2):

 

Получим алгебраическую линейную однородную систему относительно  и :

    (4)

 

 

Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

                                                            (5)

Значит, те значения , при которых условия (2) будут выполняться, являются корнями уравнения (5). Иначе: корни  этого уравнения суть собственные значения задачи Ш. – Л. (1) – (2). Если уравнение (1) записать в виде , то совокупность собственных значений  – это спектр линейного оператора .

Пусть корень уравнения (5), тогда имеем ненулевое решение системы (4) , ,  свободное неизвестное. Соответствующие собственные функции  определяем по формуле (3) при :

Собственные (спектральные) функции определены с точностью до постоянного множителя .

 

В) Свойства собственных значений и собственных функций.

Свойство 1. Краевая задача (1) – (2) имеет счетное множество собственных значений и все они вещественны. Если собственные значения рассматривать в порядке возрастания: , то .

Свойство 2. Все собственные значения задачи Штурма – Лиувилля (1) – (2) простые, то есть каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на , то есть удовлетворяют равенству

.

Свойство 4. Если краевые условия таковы, что

,

то все собственные числа задачи (1) – (2) неотрицательны.

Свойство 5. (Теорема Стеклова). Пусть функция  и удовлетворяет на концах отрезка условиям (2). Тогда  разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся при  ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи (1) – (2)

,

где  коэффициенты Фурье, определяемые по формуле:

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции задачи Ш. – Л.

,

, .

Решение. Ищем решение уравнения в виде . Запишем характеристическое уравнение: .

1. Пусть , тогда корни характеристического уравнения действительны и различны: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения имеет вид:

,

где  и  произвольные постоянные. Используя заданные краевые условия, получим систему для определения , :

Определитель этой системы  Значит, система имеет единственное решение . Поэтому в случае  данная задача собственных значений и собственных функций не имеет.

 

2. Пусть . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения – линейная функция . Подставляя краевые условия, получим , . Значит,   не является собственным значением рассматриваемой задачи Ш. – Л.

 

3. Пусть . Корни характеристического уравнения мнимые: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения

.

Определим ,  из краевых условий. При  (на левом конце) . При  (на правом конце) получаем . Нас интересует нетривиальное решение, то есть , поэтому . Тогда должен быть равен нулю второй множитель

Итак,  собственные значения, тогда решения  собственные функции данной задачи Ш. – Л. ●

 

Замечание. Иногда в уравнении  удобнее вместо  брать . Тогдасобственные значения задачи 1 можно записать в виде

 

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля

Решение. Составим характеристическое уравнение  и найдем его корни

1. Пусть , то есть . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны. Общее решение уравнения имеет вид

Краевые условия приводят к системе для определения , :

Определитель этой системы

Тривиальное решение является единственным. Значит, задача в случае  не имеет собственных значений и собственных функций.

2. Пусть . У характеристического уравнения кратные корни . Общее решение  Из краевых условий получим систему

Отсюда , так как по условию . Значит,  не является собственным значением.

3. Пусть , то есть . Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни   Общее решение уравнения

Из краевых условий получаем

Случай  дает тривиальное решение, то есть нас не интересует. Выясним, при каком значении  может обращаться в нуль выражение в скобках

Приходим к уравнению

Обозначим , тогда уравнение для определения собственных значений запишется так:

Это трансцендентное уравнение, которое можно решить, например, графически. Обозначим последовательные положительные корни этого уравнения  Тогда  и ,  собственные значения, а , собственные функции этой задачи. ●

 

Задача 3. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:

Решение. Запишем характеристическое уравнение

1. Пусть  Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны:   Общее решение уравнения

Краевые условия приводят к системе

Определитель этой системы

Система имеет единственное решение , поэтому в случае  задача Ш. – Л. не имеет собственных значений и собственных функций.

2. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда

.

Из краевых условий находим , тогда решение имеет вид  Таким образом,  собственное значение,  собственная функция рассматриваемой задачи Ш. – Л.

 

3. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда

Вычислим значения производной на концах отрезка

Используя краевые условия, получим систему для  и :

Определитель системы

Найдем те значения , при которых определитель равен нулю.

.

Собственные значения задачи . Подставляя найденные  в первое (например) уравнение системы, находим

.

Из общего решения получаем собственные функции

Итак, рассматриваемая задача Ш. – Л. имеет собственные значения  (подключили сюда ) и собственные функции

,  

В частности, если , собственные значения и собственные функции выглядят так:

:

: ●

Задачи для самостоятельного решения

1. Показать, что  суть собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:

 

1.  Убедиться, что  – собственные функции задачи Штурма –Лиувилля:

 

1.  Показать, что  где  положительные корни трансцендентного уравнения  являются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля:

 

1.  Решить следующие задачи Штурма-Лиувилля:

a)

b)

c)

 

 

Закрепленной на концах

Метод Фурье (метод разделения переменных) является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Подробное изложение метода проведем для задачи о свободных колебаниях струны, концы которой закреплены.

Задача сводится к решению однородного уравнения

                                            (1)

при начальных условиях

                             (2)

и краевых условиях

                                                      (3)

Метод разделения переменных (метод Фурье) состоит в том, что сначала решается основная вспомогательная задача. А именно, разыскиваются нетривиальные решения однородного уравнения (1), удовлетворяющие однородным краевым условиям (3), в виде

                       (4)

 

Дифференцируем функцию (4) дважды по  и по :

и подставляем эти производные в уравнение(1):

Переменные разделяются:

                                                      (5)

Так как функция (4) – предполагаемое решение уравнения (1), равенство (5) должно выполняться тождественно в области . Но правая часть равенства (5) не зависит от , а левая – от , поэтому в обеих частях равенства (5) должна быть постоянная величина, которую обозначим .

                                            (6)

Отсюда следует, что функции  и  суть решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

Займемся сначала функцией . Из граничных условий (3) и представления (4) следует:    для всех .

Так как  (ищем нетривиальные решения!), то должно быть  и . Получили к краевую задачу для функции :

                                                         (7)

                                                               (8)

Пришли к задаче Штурма – Лиувилля: требуется найти такие значения параметра  (собственные значения), при которых задача (7) – (8) имеет нетривиальные решения, и найти эти решения (собственные функции).

Выше (см. замечание к задаче 1 п.1) было показано, что вместо постоянной  можно взять . В той же задача 1 были найдены собственные значения  и собственные функции

                                                  

Как и должно быть, полученные собственные функции ортогональны на , то есть

 при

Теперь следует отыскать функцию . Функция , соответствующая собственному значению , удовлетворяет уравнению

общее решение которого имеет вид:

                                         

Подставляя найденные функции  и  в формулу (4), получим множество решений уравнения (1), удовлетворяющих краевым условиям (3):

               (9)

Здесь введены обозначения

Решения (9) называются собственными функциями задачи (1), (3); соответствующие им колебания струны – собственными колебаниями.

Переходим к заключительной части метода Фурье: при помощи собственных функций (9) построить решение, удовлетворяющее начальным условиям (2). Для этого составим ряд:

                      (10)

Осталось подобрать произвольные постоянные  и  так, чтобы удовлетворить начальным условиям (2). При  из соотношения (10) легко получить

                                  (11)

Для второго начального условия дифференцируем ряд (10) по :

и подставляем :

                                  (12)

Формулы (11) и (12) означают, что числа  и  являются коэффициентами разложения начальных функций  и  в ряд Фурье по синусам на отрезке , то есть

           (13)

Таким образом, при реализации метода Фурье для задачи (1), (2), (3) надо разложить начальные данные  и  в ряд Фурье по синусам на .

Подставив найденные , ,  в ряд (10), получим формально решение задачи. Для того чтобы сумма ряда (10) была решением задачи (1), (2), (3), функции  и