Метод характеристик. Формула Даламбера.

Рассмотрим задачу о свободных колебаниях бесконечной струны при заданных начальных условиях (задачу Коши):

                              (1)

                        (2)

Приведем уравнение  к каноническому виду. Уравнение характеристик  распадается на два уравнения:  и . Общие интегралы этих уравнений суть семейства прямых  Вводим новые переменные  и пересчитываем производные:

    

    

После подстановки в исходное уравнение  и приведения подобных членов получаем канонический вид  Интегрирование уравнение  по  при фиксированном  даёт общий интеграл в виде . Здесь произвольная функция. Повторно интегрируем по  при фиксированном :

.

Здесь  и  произвольные функции.  Возвращаясь к старым переменным, получаем, что общим решением уравнения  является функция

                               (3)

Вид функций  и  определяется из начальных условий

Подставим в общее решение (3) . В силу первого начального условия  получаем

.

Чтобы воспользоваться вторым начальным условием, продифференцируем функцию  по переменной :

В силу условия  получаем

. .

 

Проинтегрируем полученное соотношение

Здесь  фиксированное значение независимой переменной ,  произвольная постоянная.

Таким образом, вид произвольных функций  определяется из системы уравнений

Осталось вспомнить, что у функции  аргументом служит , а функция  зависит от аргумента , и подставить найденные функции в представление

Замечая, что , получим окончательно

                    (4)

Формула  носит название формулы Даламбера.

Задача 1. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее условиям

Решение. Воспользуемся формулой Даламбера. У нас , тогда  

.

Окончательно получаем

Легко проверить, что полученная функция  действительно есть решение задачи Коши, т.е. удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям. ●

Задача 2. Найти решение уравнения

                                         (5)

удовлетворяющее начальным условиям

                                (6)

Решение. Составим уравнение характеристик

.

Оно распадается на два уравнения:  и  общие интегралы которых удобно записать в виде: . Вводим новые переменные  и пересчитываем производные функции :

Уравнение приводится к каноническому виду  Общее его решение, как показано выше, представляется в виде , где  – произвольные функции. Значит, для исходного уравнения

                                       (7)

Для определения функций  следует использовать начальные условия.

При .

Замечание. Теперь очевидно преимущество записи , т.е.    – при  получаем . Если бы , то  и при  получили бы .

Дифференцируем функцию  по

.

При : .

Из системы уравнений   находим вид функций  и :

, .

       Осталось  и  подставить в общее решение . При этом следует помнить, что у функция  зависит от аргумента , а у функции  – от аргумента . Получаем:

.

Легко убедиться, что эта функция действительно есть решение задачи Коши, т.е. удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям. ●

                                          

Задача 3. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям  

Рассмотреть частный случай

Решение. Уравнение характеристик  распадается на два уравнения:  и . Общие интегралы удобнее записать в виде: . Новые переменные . Дифференцируем сложную функцию :

Уравнение в результате замены приводится к каноническому виду

Перепишем уравнение в виде  и найдем его общее решение. Обозначим , тогда уравнение примет вид . Полагая  фиксированным, проинтегрируем уравнение

.

Осталось при фиксированном  проинтегрировать уравнение

.

Значит, общее решение можно записать в виде

где  произвольные функции.

Возвращаясь к переменным , запишем общее решение уравнения в виде:

                              (*)

Найдем

       (**)

 

 

Полагая  в выражениях (*) и (**) и используя начальные условия, получаем систему для определения вида функций :

Дифференцируем первое уравнение:

и прибавляем к нему второе, записанное в виде

Получим  что позволяет во втором уравнении системы два слагаемых в левой части заменить известными функциями:

 

В результате второе уравнение системы принимает вид

,

откуда определяем . Интегрируя, находим :

Из первого уравнения системы определяем функцию :

Остается подставить функции  и   с аргументами соответственно  и   в (*) и записать решение задачи Коши:

В частном случае при ,  решение принимает вид .

       Непосредственной проверкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям.●  

 

Задача 4. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Здесь  в  (гиперболический тип в ). Составляем уравнение характеристик

Оно распадается на два:  и . Находим общие интегралы:

 

После введения новых переменных  и пересчета производных уравнение принимает вид

Найдем общее решение этого уравнения. Если введем обозначение  то  Уравнение  интегрируем по  при фиксированном .

, .

Затем фиксируем  и интегрируем по :

Осталось вернуться к старым переменным и записать общее решение в виде:

       Здесь  – произвольные функции, определяемые из начальных условий.

Найдем :

Воспользуемся начальными условиями:

Для определения вида функций  получили систему

из которой находим

 

 

Теперь решение задачи Коши запишется (следим за аргументами!) в виде:

После несложных преобразований получаем ответ:

 ●

 

Физическая интерпретация

       А). Распространение волны отклонения

При нулевой начальной скорости   из формулы Даламбера получаем

В этом случае колебания представляют собой процесс распространения начального отклонения .

Функция вида  в физике называется распространяющейся волной – неизменный профиль  перемещается вправо со скоростью . Аналогично функция  представляет неизменный профиль , перемещающийся влево со скоростью .

Значит, решение  представляет собой сумму двух полуволн: прямой, бегущей вправо со скоростью , и обратной, бегущей влево с той же скоростью. При этом начальная форма обеих волн определяется функцией  – половиной начального отклонения .

Рассмотрим фазовую плоскость .

Линии  суть характеристики.     Функция  сохраняет постоянное значение на характеристиках , а функция  – на характеристиках .

Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке , а вне этого промежутка равно нулю.

Характеристики  и  представляют собой передний и задний фронты прямой волны, а характеристики  и  – соответственно передний и задний фронты обратной волны. Эти характеристики разбивают фазовую плоскость на несколько областей. Через область  проходит прямая (обратная) волна, а в области  взаимодействуют обе волны. В область  (и ) до некоторого момента времени  еще не дошла прямая (обратная) волна; через область с некоторого момента  волны уже прошли и наступил покой.

 

Б). Распространение волны импульса

При нулевом начальном отклонении  колебания вызываются начальной скоростью (или импульсом)  и решение задачи Коши можно представить в виде разности обратной и прямой волны:

Здесь  –  первообразная функции .

Например, пусть  и тогда

       Графики функций   и   приведены на рисунке.

Начальный импульс                                  Функция   – профиль волны