III метод Фурье для уравнения гиперболического типа

Задача Штурма – Лиувилля

А). Постановка задачи

Применение метода Фурье к решению задач математической физики (уравнений любого из трех типов) приводит к краевым задачам для обыкновенного линейного дифференциального однородного уравнения второго порядка, содержащего параметр. С нулевыми граничными условиями такие задачи, как правило, при любом значении параметра имеют тождественно равное нулю решение. Но при некоторых значениях параметра возможны и нетривиальные решения. В этих задачах требуется найти такие значения параметра, при которых существует отличное от нуля решение однородного уравнения, удовлетворяющее на концах отрезка однородным граничным условиям.

Сформулируем задачу Штурма-Лиувилля (Ш. – Л.):

Найти значения параметра  при которых уравнение

                          (1)

имеет нетривиальные решения  удовлетворяющие однородным краевым условиям

,                            (2)

и найти эти решения.

 

Б). Нахождение собственных значений и собственных функций.

Пусть выполнены условия регулярности:  при  Предполагается, что решение задачи  Значение параметра  при котором существует нетривиальное решение задачи Ш. – Л., называется собственным значением, а соответствующее нетривиальное решение   собственной функцией.

При сделанных предположениях существует фундаментальная система решений ,  уравнения (1). Общее решение этого уравнения имеет вид

                                      (3)

Здесь  – произвольные постоянные. Так как нас интересуют только нетривиальные решения, то должно быть .

Подставим функцию (3) в краевые условия (2):

 

Получим алгебраическую линейную однородную систему относительно  и :

    (4)

 

 

Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

                                                            (5)

Значит, те значения , при которых условия (2) будут выполняться, являются корнями уравнения (5). Иначе: корни  этого уравнения суть собственные значения задачи Ш. – Л. (1) – (2). Если уравнение (1) записать в виде , то совокупность собственных значений  – это спектр линейного оператора .

Пусть корень уравнения (5), тогда имеем ненулевое решение системы (4) , ,  свободное неизвестное. Соответствующие собственные функции  определяем по формуле (3) при :

Собственные (спектральные) функции определены с точностью до постоянного множителя .

 

В) Свойства собственных значений и собственных функций.

Свойство 1. Краевая задача (1) – (2) имеет счетное множество собственных значений и все они вещественны. Если собственные значения рассматривать в порядке возрастания: , то .

Свойство 2. Все собственные значения задачи Штурма – Лиувилля (1) – (2) простые, то есть каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на , то есть удовлетворяют равенству

.

Свойство 4. Если краевые условия таковы, что

,

то все собственные числа задачи (1) – (2) неотрицательны.

Свойство 5. (Теорема Стеклова). Пусть функция  и удовлетворяет на концах отрезка условиям (2). Тогда  разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся при  ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи (1) – (2)

,

где  коэффициенты Фурье, определяемые по формуле:

Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции задачи Ш. – Л.

,

, .

Решение. Ищем решение уравнения в виде . Запишем характеристическое уравнение: .

1. Пусть , тогда корни характеристического уравнения действительны и различны: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения имеет вид:

,

где  и  произвольные постоянные. Используя заданные краевые условия, получим систему для определения , :

Определитель этой системы  Значит, система имеет единственное решение . Поэтому в случае  данная задача собственных значений и собственных функций не имеет.

 

2. Пусть . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения – линейная функция . Подставляя краевые условия, получим , . Значит,   не является собственным значением рассматриваемой задачи Ш. – Л.

 

3. Пусть . Корни характеристического уравнения мнимые: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения

.

Определим ,  из краевых условий. При  (на левом конце) . При  (на правом конце) получаем . Нас интересует нетривиальное решение, то есть , поэтому . Тогда должен быть равен нулю второй множитель

Итак,  собственные значения, тогда решения  собственные функции данной задачи Ш. – Л. ●

 

Замечание. Иногда в уравнении  удобнее вместо  брать . Тогдасобственные значения задачи 1 можно записать в виде

 

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля

Решение. Составим характеристическое уравнение  и найдем его корни

1. Пусть , то есть . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны. Общее решение уравнения имеет вид

Краевые условия приводят к системе для определения , :

Определитель этой системы

Тривиальное решение является единственным. Значит, задача в случае  не имеет собственных значений и собственных функций.

2. Пусть . У характеристического уравнения кратные корни . Общее решение  Из краевых условий получим систему

Отсюда , так как по условию . Значит,  не является собственным значением.

3. Пусть , то есть . Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни   Общее решение уравнения

Из краевых условий получаем

Случай  дает тривиальное решение, то есть нас не интересует. Выясним, при каком значении  может обращаться в нуль выражение в скобках

Приходим к уравнению

Обозначим , тогда уравнение для определения собственных значений запишется так:

Это трансцендентное уравнение, которое можно решить, например, графически. Обозначим последовательные положительные корни этого уравнения  Тогда  и ,  собственные значения, а , собственные функции этой задачи. ●

 

Задача 3. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:

Решение. Запишем характеристическое уравнение

1. Пусть  Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны:   Общее решение уравнения

Краевые условия приводят к системе

Определитель этой системы

Система имеет единственное решение , поэтому в случае  задача Ш. – Л. не имеет собственных значений и собственных функций.

2. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда

.

Из краевых условий находим , тогда решение имеет вид  Таким образом,  собственное значение,  собственная функция рассматриваемой задачи Ш. – Л.

 

3. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда

Вычислим значения производной на концах отрезка

Используя краевые условия, получим систему для  и :

Определитель системы

Найдем те значения , при которых определитель равен нулю.

.

Собственные значения задачи . Подставляя найденные  в первое (например) уравнение системы, находим

.

Из общего решения получаем собственные функции

Итак, рассматриваемая задача Ш. – Л. имеет собственные значения  (подключили сюда ) и собственные функции

,  

В частности, если , собственные значения и собственные функции выглядят так:

:

: ●

Задачи для самостоятельного решения

1. Показать, что  суть собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:

 

1.  Убедиться, что  – собственные функции задачи Штурма –Лиувилля:

 

1.  Показать, что  где  положительные корни трансцендентного уравнения  являются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля:

 

1.  Решить следующие задачи Штурма-Лиувилля:

a)

b)

c)