Метод Фурье для задачи о свободных колебаниях струны,

Закрепленной на концах

Метод Фурье (метод разделения переменных) является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Подробное изложение метода проведем для задачи о свободных колебаниях струны, концы которой закреплены.

Задача сводится к решению однородного уравнения

                                            (1)

при начальных условиях

                             (2)

и краевых условиях

                                                      (3)

Метод разделения переменных (метод Фурье) состоит в том, что сначала решается основная вспомогательная задача. А именно, разыскиваются нетривиальные решения однородного уравнения (1), удовлетворяющие однородным краевым условиям (3), в виде

                       (4)

 

Дифференцируем функцию (4) дважды по  и по :

и подставляем эти производные в уравнение(1):

Переменные разделяются:

                                                      (5)

Так как функция (4) – предполагаемое решение уравнения (1), равенство (5) должно выполняться тождественно в области . Но правая часть равенства (5) не зависит от , а левая – от , поэтому в обеих частях равенства (5) должна быть постоянная величина, которую обозначим .

                                            (6)

Отсюда следует, что функции  и  суть решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

Займемся сначала функцией . Из граничных условий (3) и представления (4) следует:    для всех .

Так как  (ищем нетривиальные решения!), то должно быть  и . Получили к краевую задачу для функции :

                                                         (7)

                                                               (8)

Пришли к задаче Штурма – Лиувилля: требуется найти такие значения параметра  (собственные значения), при которых задача (7) – (8) имеет нетривиальные решения, и найти эти решения (собственные функции).

Выше (см. замечание к задаче 1 п.1) было показано, что вместо постоянной  можно взять . В той же задача 1 были найдены собственные значения  и собственные функции

                                                  

Как и должно быть, полученные собственные функции ортогональны на , то есть

 при

Теперь следует отыскать функцию . Функция , соответствующая собственному значению , удовлетворяет уравнению

общее решение которого имеет вид:

                                         

Подставляя найденные функции  и  в формулу (4), получим множество решений уравнения (1), удовлетворяющих краевым условиям (3):

               (9)

Здесь введены обозначения

Решения (9) называются собственными функциями задачи (1), (3); соответствующие им колебания струны – собственными колебаниями.

Переходим к заключительной части метода Фурье: при помощи собственных функций (9) построить решение, удовлетворяющее начальным условиям (2). Для этого составим ряд:

                      (10)

Осталось подобрать произвольные постоянные  и  так, чтобы удовлетворить начальным условиям (2). При  из соотношения (10) легко получить

                                  (11)

Для второго начального условия дифференцируем ряд (10) по :

и подставляем :

                                  (12)

Формулы (11) и (12) означают, что числа  и  являются коэффициентами разложения начальных функций  и  в ряд Фурье по синусам на отрезке , то есть

           (13)

Таким образом, при реализации метода Фурье для задачи (1), (2), (3) надо разложить начальные данные  и  в ряд Фурье по синусам на .

Подставив найденные , ,  в ряд (10), получим формально решение задачи. Для того чтобы сумма ряда (10) была решением задачи (1), (2), (3), функции  и  должны быть такими, чтобы ряд (10) сходился равномерно в  и его можно было почленно дифференцировать дважды по  и дважды по  в .

 

Задача 1. Однородная струна длиной  натянута между точками  и . Начальная форма струны задается функцией , начальная скорость равна нулю. Определить отклонение . Внешние силы отсутствуют.

Решение. Требуется решать задачу о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Начальное отклонение задано, начальная скорость равна нулю:

Так как по условию начальная скорость равна нулю, в формуле (10), дающей решение задачи, следует положить . Тогда

                                        (*)

Остаётся в соответствии с (13) найти  – коэффициенты Фурье начальной функции :

При  все коэффициенты  в силу ортогональности собственных функций – из коэффициентов  отличен от нуля только . Это естественно, так как начальное положение струны совпадает с графиком одной из собственных функций, а именно .

Можно получить этот результат и из других соображений. Запишем подробнее разложение начальной функции  в ряд Фурье по  и приравняем заданной функции :

В силу единственности разложения в ряд Фурье отсюда следует, что

, то есть , .

Таким образом, из ряда (*) остается только одно слагаемое

Легко убедиться, что найденная функция  удовлетворяет и уравнению, и начальным, и граничным условиям.

Решение можно записать в виде  где обозначено это амплитуда колебаний, зависящая от абсциссы точки струны. Все точки струны совершают гармонические колебания с одной и той же частотой  При этом точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения и одновременно проходят положение равновесия. Такие колебания струны называются стоячими волнами. ●

 

Физическая интерпретация

Группу слагаемых  из правой части формулы (10) преобразуем к виду .

Здесь обозначено , .

Теперь решение задачи (1)-(2)-(3) можно записать в виде

,

где каждое слагаемое представляет собой стоячую волну, при которой точка  струны совершает колебания с амплитудой , частотой  и фазой .

При колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебаний, частота самого низкого – основного тона – определяется соотношением . Более высоким частотам соответствуют обертоны. Если, как в рассмотренной задаче, все частоты кратны основной частоте ( и

т.д.), то колебания называются гармоническими. Первый тон называется первой гармоникой и т.д. Решение  складывается из отдельных гармоник. Их амплитуды – и влияние на звук – быстро убывают с увеличением номера. Поэтому действие последующих гармоник сводится к созданию тембра звука.

 

 

       На рисунках показаны первые четыре гармоники.

Точки , где амплитуда  равна нулю, называются узлами ой гармоники. У первой гармоники 2 узла, совпадающие с концами струны, у второй – три узла, у третьей – четыре и т.д.

Точки, где амплитуда достигает наибольшего значения (то есть ), называются пучностями ой гармоники:

У первой гармоники одна пучность – в центре струны, у второй – две и т.д.

Если прижать звучащую струну точно в середине – в пучности основного тона, то обратятся в 0 амплитуды всех нечетных гармоник. Самой низкой окажется частота , то есть основным тоном станет звук с частотой .

 

Формула , определяющая частоту основного тона, объясняет известные из экспериментов законы звучания струны.

1. При заданных   и  частота обратно пропорциональна длине  струны.

2. При заданных длине  и линейной плотности  струны частота меняется прямо пропорционально корню квадратному из натяжения .

3. При заданных  и  частота меняется обратно пропорционально корню квадратному из линейной плотности  струны.

 

Задача 2. Однородная струна длиной  натянута между двумя точками  и . В точке  струна оттягивается на небольшое расстояние  от положения равновесия и в момент  отпускается без начальной скорости. Определить отклонение струны для любого момента времени.

Решение. В начальный момент времени  струна занимает положение, изображенное на рисунке. Необходимо описать положение струны в любой момент времени . Прежде всего запишем аналитическое представление для начального профиля струны. Для  имеем  (уравнение прямой, проходящей через начало координат, угловой коэффициент ). Для  можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через точки  и . Получаем .

 

Приходим к задаче:

       Решение задачи даётся формулой (10)

                      (10)

Чтобы найти коэффициенты , , следует воспользоваться формулами (13).

 

Интегралы берутся по частям

 

 

Получаем

 

Так как начальная скорость отсутствует, коэффициенты .

 Осталось подставить найденные значения  и  в формулу (10). Окончательно получаем:

●

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти колебания струны с закрепленными концами  и , если посередине струна оттягивается от положения равновесия на высоту  и в момент  отпускается без начальной скорости.

Ответ:

2. Пусть в условиях задачи 2, решенной в этом разделе, начальная форма струны – парабола, симметричная относительно середины струны. Максимальное отклонение равно . Найти закон колебаний струны.

Указание. В уравнении параболы , пересекающей ось абсцисс в точках  и , необходимо определить коэффициент , зная координаты вершины параболы . Получим аналитическое выражение для начального профиля струны .

Ответ:

Обратите внимание на тот факт, что амплитуда последовательных гармоник  убывает быстрее, чем в задаче 1.

3. Пусть в начальном положении струна с закрепленными концами  и  находится в покое и точкам ее на участке  придана постоянная скорость  (этого можно добиться, ударяя по струне на этом участке плоским молоточком). Найти колебания струны. Исследовать частный случай , .

Указание. Функция  представляется в виде:

Ответ:

В частности, при ,  получаем:

4. Для уравнения  в полуполосе ,  найти решение при условиях

Ответ: