Относительное положение прямой и плоскости. Их изображение в ортогональной системе координат

Случаи положения прямой и плоскости:

-Прямая лежит в плоскости

-Прямая параллельна плоскости

-Прямая перпендикулярна плоскости

-Прямая пересекает плоскость под произвольным углом

Прямая лежит в плоскости

Прямая лежит в плоскости, если ее следы расположены на соответствующих следах плоскости:

 

 

 

Прямая AB заданная следами

Прямая лежит в плоскости если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости:

KL принадлежит плоскости заданной прямыми AB и BC.

Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости.

Прямая a параллельная плоскости α(альфа)

а -заданная следами                                б-заданная плоской фигурой

Пример:

1) Дано: плоскость альфа; A’B’

2) Требуется задать A’’B’’ при условии AB || альфа

3) Для определения однозначного положения прямой в пространстве задаем, фронтальную проекцию точки-A’’(рис а)

4) В плоскости альфа строим проекции прямой MN, параллельной заданной прямой т.е. M’N’||A’B’(рис б)

5) В проекционной связи строим M’’N’’(рис б)

6) Искомую фронтальную проекцию A’’B’’ проводим параллельно M’’N’’(рис б)

Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если ее ортогональные проекции перпендикулярны одноименным следам плоскости. a ⊥ (альфа) => a’⊥h’0a, a’’⊥ f ’’0a, a’’’⊥ p’’’0a

 

Рис.-Проекция прямой, перпендикулярной плоскости, заданной следами

AB перпендикулярна плоскости альфа

 

 

Прямая AB перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Если эти прямые расположены произвольно относительно плоскостей проекции, то прямые углы спроецируются на плоскости проекции с искажением. Чтобы эти прямые углы спроецировались в натуральную величину, пересекающиеся прямые должны быть параллельны плоскостям проекции, т.е. является соответственно горизонталью и фронталью плоскости.

KA ⊥ ABC=>K’A’⊥A’D’; K’’A’’⊥A’’E’’, где AD≡h и AE≡f.

Прямая перпендикулярна плоскости, если ее проекции перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали соответственно.

a ⊥ (альфа) => a’⊥h’, a’’⊥ f ’’

 

Прямая пересекает плоскость под произвольным углом

Если прямая пересекает плоскость под произвольным углом, то, как правило, решение задачи сводится к определению точки встречи прямой с указанной плоскостью.

Алгоритм решения задач, по определению точки встречи прямой с плоскостью:

· Заданною прямую заключают во вспомогательную плоскость (как правило, проецирующую);

· Строят линию пересечения заданной плоскости со вспомогательной;

· Отмечают общую точку для заданной прямой и построенной линии пересечения плоскостей. Это и есть точка встречи прямой с заданной плоскостью;

· Методом конкурирующих точек определяют видимость прямой относительно плоскости.

Примеры:

1) Дано: косоугольная проекция плоскости α (альфа) и A’B’

2) Прямую AB (A’B’, A’’B’’) заключаем в горизонтально-проецирующую плоскость (рис б)

β(h’0β, f’’0β): AB ∈ β, β ⊥ горизонтальной плоскости проекции Пи1 => A’B’≡ h’0β, f’’0β ⊥ OX.

3) Строим проекции линии пересечения плоскостей α и β, проходящие через точки пересечения одноименных следов этих плоскостей.

4) Фронтальную проекцию K’’ точки встречи прямой AB с плоскостью альфа отметим в точке пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения плоскостей. Горизонтальная проекция K’ находится в проекционной связи с K’’ на A’B’.

 

Построение точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения

Любая прямая, проведенная через точку, в которую проецируется на пл. Пи1 заданная прямая, может быть принята за горизонтальный след горизонтально-проецирующей плоскости. Если такую линию провести параллельно ОХ, то это будет горизонтальный след плоскости, параллельной фронтальной пл. проекции Пи2, т.е. дважды проецирующей плоскости бета. В этом случаи плоскости пересекаются по общей фронтали. Проекции K’ и K’’ искомой точки встречи прямой AB с плоскостью альфа отметим в точках пересечения соответствующих проекций заданной прямой и построенной фронтали.

 

Построение точки встречи прямой с плоскостью, заданной плоской фигурой

1) Через прямую FT проведем фронтально-проецирующую пл.

2) Фронтальная проекция этой линии совпадает с фротальным следом пл. бета

3) Фронтальные проекции двух точек, принадлежащих линии пересечения, указанных плоскостей, найдем отметив точки 1’’ и 2’’ в пересечении фронтального следа пл. бета с фронтальными проекциями A’’B’’ и A’’C’’ сторон треугольника. Точки 1’ и 2’ расположены в проекционной связи на A’B’ и A’C’ соответственно.

4) Соединив точки 1’ и 2’ получим горизонтальную проекцию линии пересечения пл. бета и ABC

5) Горизонтальную проекцию K’ искомой точки встречи прямой FT с плоскостью треугольника ABC найдем в точке пересечения горизонтальных проекций F’T’ и 1’2’.

6) Фронтальная проекция точки встречи K’’ расположена в проекционной связи на F’’T’’.