Пересечение плоскостей. Построение линии пересечения плоскостей, заданных следами

Пересечение плоскостей. возможны случаи:  -Плоскости параллельны  -Плоскости пересекаются под произвольным углом  -Плоскости взаимно перпендикулярны

1 плоскости параллельны :

Пусть требуется через точку К построить плоскость β, параллельную заданной следами плоскости α (рисунок 31, а). Проведем через K’ горизонтальную проекцию горизонтали искомой плоскости параллельно следу h’0α. На пересечении с осью Оx находится горизонтальная проекция фронтального следа этой прямой, точка N’. Точка N’’ находится в проекционной связи на фронтальной проекции горизонтали – прямой, параллельной Оx, проведенной через K’’. Через N’’ проводим фронтальный след искомой плоскости f’’0β до пересечения с Оx – точки схода следов Xβ. Из этой точки проводим горизонтальный след h’0β параллельно h’0α.

Перед аналогичными построениями на рисунке 31, б в треугольнике АВС построены (отмечены) горизонталь АС (h) и фронталь А1 (f). Следы β найдены с помощью фронтали KМ.

2 плоскости перпендикулярны :

Пусть необходимо построить плоскость β, перпендикулярную к плоскости α, заданной

треугольником АВС, и проходящую через прямую KL (рисунок 34, б).

Определяем направления следов заданной плоскости: проводим горизонтальную проекцию фронтали A’1’ (f’α) параллельно оси Оx, построенная в проекционной связи фронтальная проекция фронтали A’’1’’ задает направление f’’0α; проводим фронтальную проекцию горизонтали C’’2’’ (h’’α) параллельно оси Оx, при этом C’2’ задаст направление горизонтального следа плоскости h’0α.

Из точки K прямой KL опускаем перпендикуляр на плоскость α: его горизонтальная проекция K’N’2 проходит перпендикулярно к C’2’, а фронтальная проекция K’’N’’2 – под прямым углом к A’’1’’.

Строим следы плоскости, определяемой пересекающимися прямыми KL и KN2.

Находим следы прямой, перпендикулярной к плоскости α: пересечение ее горизонтальной проекции с осью Оx дает горизонтальную проекцию фронтального следа N’2; точка N’’2 определяется в проекционной связи; на пересечении K’’N’’2 с Оx отмечаем фронтальную проекцию горизонтального следа M’’2, горизонтальная проекция горизонтального следа M’2 строится в проекционной связи.

Аналогично находим горизонтальный след заданной прямой KL: на пересечении продолжения фронтальной проекции отрезка K’’L’’ с Оx отмечаем M’’1, горизонтальная проекция M’1 находится в проекционной связи.

Две полученные горизонтальные проекции горизонтальных следов пересекающихся прямых позволяют провести горизонтальный след искомой плоскости: h’0β строится через M’1 и M’2.

Пересечение h’0β с осью Оx позволяет получить точку схода следов Xβ. Через нее и N’’2 проводим фронтальный след искомой плоскости – f’’0β. Задача решена. Если плоскость задана следами (рис.34, а), задача решается аналогично.

определение линии пересечения плоскостей заданных следами :

Алгоритм решения :

1) Найдём точку пересечения одноименных следов плоскостей ( hoa и hob , foa и fob )

2) Если одна точка на следе , значит другая на оси, по линиям проекционной связи перенесём точки l1’ и l2” на ось , в результате получим l2’ и l1”

3) Соединить одноименные проекции точек, полученных при построении (проводим прямые l' и l'' через соответствующие проекции точек L1 и L2 )

Примеры :

Соединяем одноименные проекции точек M и N: линия пересечения плоскостей α и β определена двумя проекциями – M’N’ и M’’N’’

На рисунке 36, б приведен пример пересечения плоскости общего положения α с горизонтальной плоскостью β.

Пересечение фронтальных следов f’’0α и f’’0β позволяет обозначить фронтальную проекцию фронтального следа линии пересечения плоскостей N’’. Ее горизонтальная проекция N’ лежит в проекционной связи на оси Оx. Плоскость β – фронтально-проецирующая, поэтому фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом f’’0β, обозначим ее как N’’1’’ (точка 1 взята произвольно). Линия пересечения N1 является горизонталью плоскости α, поэтому ее горизонтальную проекцию N’1’ проводим из точки N’ параллельно h’0α.

На рисунке 36 , в показан случай пересечения двух плоскостей общего положения с параллельными фронтальными следами.

Пересечение горизонтальных следов h’0α и h’0β позволяет обозначить горизонтальную проекцию горизонтального следа линии пересечения плоскостей M'. Ее фронтальная проекция M’’ лежит в проекционной связи на оси Оx. От этой точки фронтальная проекция линии пересечения плоскостей M’’1’’ проходит параллельно взаимно параллельным следам f’’0α и f’’0β. Таким образом, M1 является общей фронталью этих двух плоскостей и ее горизонтальная проекция M’1’ параллельна оси Оx

На рисунке 36, г приведен случай пересечения двух плоскостей общего положения, горизонтальные следы которых не пересекаются в пределах чертежа.

Пересечение фронтальных следов f’’0α и f’’0β позволяет обозначить фронтальную проекцию фронтального следа линии пересечения плоскостей N’’. Ее горизонтальная проекция N’ лежит в проекционной связи на оси Оx.

Для определения второй точки на линии пересечения воспользуемся вспомогательной фронтальной плоскостью γ, ее след h’0γ проходит параллельно оси Оx. Плоскость γ пересекается с плоскостью α по фронтали этой плоскости, фронтальная проекция которой проходит от M’’1 параллельно следу f’’0α. Аналогично, линия пересечения плоскостей γ и β – фронталь плоскости β, ее фронтальная проекция идет от M’’2 параллельно f’’0β. Фронтальные проекции найденных линий пересечения пересекаются в точке K’’. Ее горизонтальная проекция K’ лежит в проекционной связи на следе дважды проецирующей плоскости h’0γ.

Точка К является общей для трех плоскостей – α, β и γ. Линия пересечения плоскостей α и β определена двумя проекциями – N’K’ и N’’K’’.