Первый и второй замечательные пределы

Цель:

        - сформировать навыки вычисления первого и второго замечательных пределов;

        - развить умение преобразования выражения к заданному виду;

        - закрепить знания о тригонометрических тождествах;

   Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы; стенд «Основные тождества тригонометрии»

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

 Краткие теоретические сведения:

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел:

 – первый замечательный предел;

При вычислении пределов выражений, содержащих показательные функции с основанием е, обычно используют равенства:

;  – второй замечательный предел;

Число е – иррациональное, е ≈ 2,7182818…≈ 2,718.

   При вычислении замечательных пределов для раскрытия неопределённости вида [0/0] нередко применяют принцип замены бесконечно малых функций эквивалентными. А именно:                           

   Приведем примеры часто встречающихся методов  вычисления замечательных пределов.

     Пример 1. Найти предел:

Решение:

Выполнив преобразования и используя формулу , находим:

.  

Пример 2. Найти предел:

Решение: Выполнив преобразования и используя формулу , находим:

   Пример 3. Найти предел:

Решение: В данном случае пределы числителя и знаменателя при  равны нулю, имеем неопределенность вида [0/0]. Введём замену 3х=t, тогда при

 переменная , поэтому

Задания  для самостоятельного выполнения:

 Найти замечательные пределы функций.

 

Вариант 1.

1.             2.             3.

Вариант 2.

1.             2.            3.

Вариант 3.

1.              2.           3.

Вариант 4.

1.          2.            3.

Вариант 5.

1.             2.             3.

Вариант 6.

1.         2.             3.

Вариант 7.

1.              2.            3.

Вариант 8.

1. 2.         2.           3.

Вариант 9.

1.            2.           3.

Вариант 10.

1. 2.          2.           3.

Вариант 11.

1.              2.           3.

Вариант 12.

1.            2.           3.

Вариант 13.

1.             2.            3.

Вариант 14.

1.            2.             3.

Вариант 15.

1.              2.             3.

Вопросы для самоконтроля:

1. Запишите первый замечательный предел.

2. Запишите второй замечательный предел.

3. Объясните принцип эквивалентности бесконечно малых функций.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10