Общее решение задачи оптимального различения двух сигналов

Задача формулируется следующим образом. На вход системы на заданном интервале поступает наблюдение

u (t)= + n (t), i =1,2, aÎA, (4.2.1)

состоящее из полезного сигнала и помехи. Полезный сигнал является функцией дискретного информационного параметра i, который может принимать два значения: 1 или 2, и в общем случае векторного несущественного параметра a с множеством возможных значений A. Система по наблюдению { u (t), tÎ (0, T)}, принимает решение о том, какой сигнал из двух возможных присутствует на входе или ( или ). Заданными полагаются: детерминированные функции (t, a) и (t, a) времени t и параметра a, вероятности посылки первого P ₁ и второго P ₂ сигналов (P ₁ + P ₂=1), плотность вероятности несущественного параметра p (a), aÎA, статистика помехи, т.е. функционал ПВ помехи. Там, где не оговаривается противное, полагается, что n (t) - основная гауссовская помеха, определенная в §3.6. Сведения известные заранее (т.е. до получения наблюдения), заданные в формулировке задачи, называются априорными (доопытными). Поэтому вероятности P ₁ и P ₂ называют априорными вероятностями сигналов и .Требуется:

1). Определить оптимальный алгоритм преобразования наблюдения { u (t), tÎ (0, T)} в решение или , т.е. оптимальную обработку наблюдений или оптимальную структуру РПрУ.

2). Дать количественную оценку качества (качественного показателя) полученной оптимальной системы. При решении задачи в общем виде мы ограничимся решением первого вопроса. Примеры решения второго вопроса будут приведены при рассмотрении конкретных задач.

Качественный показатель, по которому оптимизируются системы различения сигналов, уже был сформулирован. В нашем случае - это (4.1.4). Уточним его физический смысл. В средний риск при простой функции потерь (4.1.4) входят вероятности ошибок 2-х видов. Ошибка 1-го вида - это ошибка при передаче 1-го сигнала .

Вероятность этой ошибки P _ош.1

Р _ош.1=Вер (4.2.2)

равна условной вероятности принятия решения при условии, что был передан 1-ый сигнал .

Аналогично ошибка 2-го вида - это ошибка при передаче второго сигнала . Ее вероятность P _ош.2 равна условной вероятности принятия решения при условии, что был предан 2-ой сигнал

Р _ош.2=Вер . (4.2.3)

Средняя вероятность ошибочных решений P _ошср определяется по формуле полной вероятности и равна вероятности посылки 1-го сигнала P ₁, умноженной на условную вероятность ошибки при посылке 1-го сигнала P _ош.1, плюс вероятность посылки 2-го сигнала P ₂, умноженной на условную вероятность ошибки при посылке 2-го сигнала P _ош.2.

Р _ошср= Р _ош.1 + Р _ош.2= + . (4.2.4)

Таким образом, в задаче различения сигналов средний риск r при простой функции потерь равен средней вероятности ошибочных решений P _{ошс р} . При выборе функции потерь (или качественного показателя системы) принимают во внимание, что последний должен хорошо соответствовать характеру решаемой задачи и вместе с тем служить удовлетворительной основой для ее аналитического решения. Выбор не однозначен. В значительной мере ориентируются на здравый смысл.

Далее сформулируем общее правило принятия решений: или по наблюдению { u (t), tÎ (0, T)}, которое тождественно представляется вектором отсчетов . На рис. 4.1. условно представлено множество U всех возможных значений вектора наблюдений U.

 

Рис. 4.1

 

Для того чтобы принять решение нужно каждому элементу множества U поставить в соответствие одно из двух решений или . Это значит, что нужно разделить все множество U на два подмножества U ₁ и U ₂ (рис.4.1) и принимать решения в зависимости от того, в какое из подмножеств попадает наблюдение . Таким образом, общее решающее правило может быть сформулировано так:

 

если Î U ₁, принимается решение

(4.2.5)

если Î U ₂, принимается решение

 

Задача определения оптимального правила решений при различении двух сигналов теперь сводится к оптимальному разделению множества U на два подмножества U ₁ и U ₂.

Найдем выражение для вероятностей ошибок P _ош.1, P _ош.2 и Р _ошср с учетом правила решений (5). Учтем также, что сведения, заданные условиями задачи, определяют условные ПВ и наблюдения при условии, что послан сигнал и . Вероятность попадания в область U ₂ (решение ) при условии посылки сигнала равна интегралу ПВ по области Î U ₂. Соответственно

P _ош.1=Вер{ Î }= . (4.2.6)

В (6) используется сокращенная запись многомерного интеграла по области U ₂, причем . Аналогично

P _ош.2=Вер{ Î U ₁| s ₂}= . (4.2.7)

и (4) принимает вид

Р _ошср= + . (4.2.8)

К правой части (8) прибавим и вычтем слагаемое

.

Тогда, учитывая, что

,

получаем

. (4.2.9)

Согласно выбранному критерию оптимальным является такое правило принятия решений, которое минимизирует Р _ошср и, следовательно, максимизирует интеграл в (9). Задача определения оптимального правила принятия решений сводится теперь к выбору области U ₁ из условия:

. (4.2.10)

Максимизация интеграла J (U ₁) обеспечивается, если к области U ₁ отнести все те значения наблюдения , при которых подынтегральное выражение в (10) положительно, т.е. нужно принять

, если . (4.2.11)

Точки пространства U, для которых справедливо противоположное неравенство должны быть отнесены к области U ₂

, если . (4.2.12)

Tочки пространства, соответствующие нулю подынтегрального выражения (10)

(4.2.13)

определяют границу между оптимальными областями U ₁ и U ₂ (граничную поверхность). Если наблюдение таково, что удовлетворяется равенство (13), то безразлично какое из двух решений будет принято или , величина Р _ошср при этом не меняется.

Таким образом, оптимальный по критерию Р _ошср=min, алгоритм принятия решений состоит в следующем:

(), если

(), если

и кратко записывается так

. (4.2.14)

Оптимальная система должна по принятому наблюдению сформировать функции правдоподобия сигнала и сигнала (условные ПВ принятого наблюдения), умножить их на вероятности P ₁ и P ₂ соответственно. Полученные произведения сравниваются между собой. Решение принимается, если больше и наоборот.

Приведенное общее решение задачи оптимального различения двух сигналов мы конкретизируем для нескольких частных случаев, представляющих практический интерес. Предварительно представим в несколько преобразованном виде оптимальное правило решений (14). Для этого определим условные вероятности и первого и второго сигналов при условии, что принято данное конкретное наблюдение . Эти вероятности называются апостериорными (послеопытными) вероятностями сигналов и . Если ПВ вектора наблюдений обозначить , то согласно формуле обратной вероятности Байеса

, . (4.2.15)

Правую и левую часть неравенств, определяющих правило решений (14) разделим на одну и ту же положительную величин . При этом оптимальное правило решений принимает вид

(4.2.16)

Следовательно, оптимальное (по критерию P _ошср=min) различение сигналов можно свести к формированию апостериорных вероятностей для каждого сигнала (s ₁, s ₂) и к их сравнению. Решение принимается по максимуму апостериорной вероятности.