Различение двух сигналов с неизвестной начальной фазой

. (4.6.9)

Тогда

(4.6.10)

и требуемая условная ПВ (4) после подстановки в нее (5) с учетом (10) принимает вид

.

Подынтегральная функция является 2 p - периодической функцией переменной интегрирования j и смещение ее на y ₁ не меняет величину интеграла по полному периоду 2 p. Поэтому

. (4.6.11)

Функция

(4.6.12)

называется модифицированной функцией Бесселя нулевого порядка. Она табулирована и широко используется. График монотонно возрастающей функции I ₀(Z) приведен на рис.4.13а. Для малых и больших значений аргумента можно пользоваться приближенными формулами

при при . (4.6.13)

Окончательно получаем

. (4.6.14)

Аналогично

(4.6.15)

где

(4.6.16)

модульное значение комплексного корреляционного интеграла наблюдения u (t) со вторым сигналом (t).

Рис. 4.13

Общий алгоритм оптимального различения двух сигналов (3) после логарифмирования правой и левой частей неравенства принимает вид

. (4.6.17)

Функция ln I ₀(Z ₁) является монотонно возрастающей функцией своего аргумента, которая при малых и больших значениях Z согласно (13) приближенно равна (рис.13б)

при , при (4.6.18)

Как и при простом различении, основной интерес представляют два случая.

4.6.3 Различение нулевого и ненулевого сигналов. В этом случае s ₂=0, Э ₂=0, Z ₂=0; s ₁= s, Э ₁= Э, Z ₁= Z и оптимальный алгоритм (17) преобразуется в

. (4.6.19)

Введем определение для порогового уровня Z _п модульного значения комплексного корреляционного интеграла Z посредством формулы

. (4.6.20)

Так как в условиях нормального функционирования системы Э / N ₀ >> 1, то (20) соответствует области, в которой согласно (18) функция ln I ₀(×) приближенно равна своему аргументу. Поэтому

. (4.6.21)

Окончательно оптимальный алгоритм (19) можно представить в виде

или . (4.6.22)

4.6.4. Различение сигналов с одинаковыми энергиями (Э1=Э2=Э). В этом случае одинаковые слагаемые Э/N0 в обеих частях неравенства (17) сокращаются. Кроме того, принимая во внимание, что монотонно возрастающая функция ln I ₀(×) тем больше, чем больше ее аргумент, сравнение и можно заменить сравнением аргументов и оптимальному алгоритму различения придать вид

. (4.6.23)

Оптимальная система по принятому наблюдению { u (t), t Î(0, T)}, формирует два модульных значения комплексных корреляционных интегралов Z ₁ и Z ₂ и сравнивает их. Для общности в обе части неравенства (23) можно вписать один и тот же коэффициент K - масштабный множитель, характеризующий усиление.

Структурные схемы оптимального различения сигналов с неизвестной начальной фазой такие же, как и при различении полностью известных сигналов. Отличие состоит лишь в том, что вместо корреляционных интегралов должны формироваться модульные значения комплексных корреляционных интегралов наблюдения с образцом каждого из сигналов, который может поступить на вход системы. Соответственно основной существенной операцией при обработке наблюдений в процессе различения сигналов с неизвестной начальной фазой является формирование модульного значения комплексного корреляционного интеграла. Рассмотрим схемную реализацию этой операции.