Схемные методы формирования корреляционного интеграла

В практических схемах используется два метода формирования корреляционного интеграла

(4.4.1)

принимаемого колебания u (t) с образцом сигнала s (t), который может поступить на вход приемной системы, - это метод корреляции и метод оптимальной фильтрации. Здесь и далее T - интервал, длительностью T, вне которого s (t)=0, например, tÎ (0, T), tÎ (-0,5 T;0,5 T) и т.д.

4. 4. 1. Метод корреляции (рис.4.4) сводится к прямому схемному моделированию корреляционного интеграла (1). В схему входит опорный генератор (ОГ), который вырабатывает колебание s (t), совпадающее по форме с сигналом, фигурирующим в корреляционном интеграле (1), перемножитель (), производящий операцию умножения принимаемого колебания u (t) на опорный сигнал s (t), и интегратор, осуществляющий интегрирование подводимых к нему колебаний u (t) s (t). В результате на выходе схемы формируется корреляционный интеграл (1). Схема очень проста в идейном отношении. Некоторые практические трудности представляет необходимость формировать в ОГ колебание, совпадающее (с точностью до произвольного коэффициента K) по форме и по временному положению с ожидаемым на входе сигналом s (t).

Рис. 4.4

4. 4. 2. Метод оптимальной фильтрации основан на формировании корреляционного интеграла при помощи оптимального фильтра (ОФ), представляющего собой ЛИВ-систему (рис.4.5) с соответствующим образом подобранной импульсной характеристикой h ₀(t). Поясним выбор импульсной характеристики h ₀(t) оптимального фильтра. При подаче на вход произвольной ЛИВ-системы с импульсной характеристикой h (t) колебания u (t) выходной эффект (выход) системы имеет вид

. (4.4.2)

 

 

Рис. 4.5

 

Мы стремимся к тому, чтобы выход совпал с корреляционным интегралом Y. Так как корреляционный интеграл (1)-число, а выход (2)-функция времени, то совпадение возможно только в некоторый фиксированный момент времени . Уравнение, определяющее импульсную характеристику ОФ (t), можно записать так

, (4.4.3)

откуда следует, что , или, обозначая , окончательно получаем

. (4.4.4)

Различие в пределах интегрирования в первом и во втором интегралах (3) значения не имеет: функция вне интервала наблюдения T тождественно равна нулю. Следовательно, импульсная характеристика ОФ согласуется с видом сигнала s (t), для которого формируется корреляционный интеграл. Поэтому ОФ называется также согласованным фильтром (СФ). В выражении (4) для может быть введен произвольный коэффициент K, характеризующий усиление. В теоретических рассмотрениях обычно принимают K =1.

Обсудим несколько подробнее результат (4). В частности, уточним значение . Положим сигнал s (t), входящий в корреляционный интеграл (1), имеет вид, изображенный на рис.4.6.

 

Рис. 4.6

 

На рисунке отмечены моменты t _н и t _к начала и окончания сигнала. Длительность сигнала не превосходит интервал наблюдения T _с = t _к - t _н £ T. На рис.4.6 изображена также функция s (- t), являющаяся зеркальным отображением сигнала s (t). Функция s (- t) с математической точки зрения можно было бы принять в качестве импульсной характеристики ОФ h ₀(t). В этом случае t ₀=0 и υ (0)= Y. Однако импульсная характеристика h ₀(t)= s (- t) (рис.4.6) физически нереализуема. Импульсная характеристика-реакция на воздействие в виде d -функции, поданной в момент , не может появиться раньше воздействия. Поэтому условие h (t)=0 при является условием физической реализуемости фильтра. Исходя из этого условия характеристику s (- t) следует сместить на некоторую величину t ₀, так чтобы импульсная характеристика s (- t + t ₀) целиком располагалась на положительной полуоси t Î(0,¥) (рис.4.6). Из рисунка следует, что t ₀ должно быть: t ₀³ t _к. В дальнейшем принимается минимальное значение

. (4.4.5)

Это значит, что импульсная характеристика начинается в , а корреляционный интеграл формируется на выходе ОФ в момент окончания сигнала s (t): υ (t _к)= Y. В частном случае, когда сигнал, длительности T _с, начинается в момент t =0(t _н =0), t _к = T _с и υ (T _с)= Y. Приведем пример определения импульсной характеристики ОФ.

Пример 4.4.1. В качестве сигнала выберем широко используемый в радиолокации линейно модулированный по частоте (ЛЧМ) радиоимпульс

(4.4.6)

и определим импульсную характеристику h ₀(t)= s (t ₀- t) согласованную с этим сигналом. На рис.4.7 показано изменение во времени огибающей A (t) и мгновенной частоты f (t) ЛЧМ радиоимпульса (6)

, (4.4.7)

где y (t)=2 p (f ₀ t + Ft ² /T _c) - полная фаза колебаний радиоимпульса. На рис.4.8 изображены ЛЧМ радиоимпульс s (t), его зеркальное отображение s (- t) и импульсная характеристика ОФ (t ₀= t _к =0,5 T _с)

h ₀(t)= s (0,5 T_с - t). (4.4.8)

Таким образом, импульсная характеристика ОФ представляет собой зеркальное отображение сигнала s (- t), сдвинутое на положительную полуось времени t Î(0,¥).

 

Рис. 4.7

 

 

Рис. 4.8

 

Заметим, что для сигналов s (t), симметричных относительно некоторой оси , зеркальный сигнал s (- t) совпадает по форме с исходным s (t). При этом , где опять выбирается из условия h ₀(t)=0при . В частности, при можно принять и .

4.4.3. Прохождение сигнала и помехи через ОФ. Выход ОФ

. (4.4.9)

Так как согласно (4)

, (4.4.10)

то (9) принимает вид

. (4.4.11)

Принимаемое колебание является суммой сигнала и помехи u = s + n. Поэтому и выход (11) представляет собой сумму сигнальной и помеховой составляющих

. (4.4.12)

Рассмотрим эти составляющие

, (4.4.13)

где - (временная) корреляционная функция ожидаемого сигнала s (t)

, (4.4.14)

являющаяся четной функцией с максимумом, равным энергии сигнала Э, в нуле

, =Э=max. (4.4.15)

Следовательно, сигнальная составляющая выхода ОФ воспроизводит корреляционную функцию сигнала и имеет максимум, равный Э, в момент формирования корреляционного интеграла Y.