Свойства операции умножения вектора на число

 

1. 1× = , -1× = - .

2. a×(b× ) = (a×b)× .

3. a×( + ) = a× + a× .

4. (a + b)× = a× + b× .

Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.

Доказательство свойства1. 1). Если = , то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.

2). Покажем, что 1× = . Рассмотрим вектор 1× . Его длина, согласно определению 1, равна |1× | = |1| ×| | = | |. С другой стороны, длина вектора так же равна | |. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор на положительное число 1, то 1× ­­ . Рассматриваемые вектора 1× и имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |-1× | = |-1| ×| | = | | и |- |= | |, и их направления одинаковы: -1× ­¯ , - ­¯ - то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.

Свойство 1 доказано.

Доказательство свойства 2. Покажем, что a×(b× ) = (a×b)× . (1)

Для этого рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть одно из чисел a или b равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если = , то равенство (1) также верно.

2). Пусть числа a и b - одного знака. Например, они отрицательные. Тогда b× ­¯ , a×(b× ) ­¯ b× . Следовательно, a×(b× )­­ .

С другой стороны, (a×b)× ­­ , так как a×b > 0.

Таким образом, a×(b× ) ­­ (a×b)× .

Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел a и b, в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:

|a×(b× )| = |a|×|(b× )| = |a|×|b|×| |,

|(a×b)× | = |a×b|×| | = |a|×|b|×| |.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.

Аналогично рассмотреть случай, когда числа a и b - положительные.

3). Пусть числа a и b - разного знака. Например, a > 0, b < 0. Тогда

b× ­¯ , a×(b× ) ­­ b× . Следовательно, a×(b× )­¯ .

С другой стороны, (a×b)× ­¯ , так как a×b < 0.

Таким образом, a×(b× ) ­­ (a×b)× .

Аналогично рассмотреть случай, когда числа a < 0 и b > 0.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.

Доказательство свойства 3: a×( + ) = a× + a× . Если a = 0 или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство (3), очевидно, выполняется. Поэтому рассматриваем ненулевые варианты. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем вектор = , а от точки А откладываем вектор = . При этом получили + = . Итак, = + . Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом a. Пока считаем, что a > 0.

Пусть при рассматриваемой гомотетии:

Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.

 

При этом = a , = a , = a = a ( + ) и + = . Отсюда получаем равенство

a×( + ) = a× + a× .

Если a < 0, то сначала рассмотрим равенство

|a|×( + ) = |a|× +| a|× ,

а затем умножив обе части этого равенства на (- 1), получим:

-|a|×( + ) = -|a|× -| a|×

или

a×( + ) = a× + a× .

Свойство 3 доказано.

Доказательство свойства 4: (a + b)× = a× + b× .

Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1) a > 0 и b > 0. В этом случае a× ­­ b× и равенство (a + b)× = a× + b× - верно.

2) Если a < 0 и b < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство

(|a| + |b|)× =|a|× + |b|× .

Умножая это равенство на (-1) получим равенство

(-|a|- |b|)× = - |a|× - |b|× ,

а, следовательно, и равенство

(a + b)× =a× + b× .

3) Здесь мы должны рассмотреть случай, когда a и b разных знаков. При этом можно считать, что a > 0, а b < 0. Но мы должны учесть два различных случая: a > |b| и a < |b|.

 

Рассмотрим, например, случай a > |b|. Тогда a + b > 0. Очевидно числовое равенство a + b + |b| = a. Согласно первому случаю, выполняется равенство

((a + b)+|b|) × = (a + b)× + |b|×

или

a × = (a + b)× + |b|× .

Отсюда получим

(a + b)× = a× − |b|× ,

а, следовательно, и равенство

(a + b)× = a× + b× .

Аналогично рассматривается случай a < |b|.

Свойство 4 доказано.

Пример 1. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства. М – точка пересечения медиан треугольника АВС (ее называют центром тяжести треугольника). Доказать, что .

Доказательство. Рассмотрим медиану АК треугольника АВС.

Тогда, в силу свойств медианы имеем: . С другой стороны,

,

, , .

Следовательно, .

Находим: (.

.

 

Пример 2. В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О – точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.

Решение. Рассмотрим векторы и . Для того, чтобы доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой достаточно доказать, что || .

Так как точки M и N – середины оснований, то справедливы следующие равенства:

M

(1),

(2).

Из подобия треугольников и с коэффициентом подобия k следует, что

(3) и (4).

Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:

. Следовательно, , откуда , а это означает, что точки O, M, N лежат на одной прямой.