Скалярное произведение векторов

Определение 1. Под углом между ненулевыми векторами и понимаем угол из промежутка [0, p] между представителями этих векторов, отложенных от одной точки.

Угол между векторами и считаем неопределенным, если хотя бы один из векторов нулевой

(иногда его считают равным нулю или ).

Определение 2. Под скалярным произведением двух ненулевых векторов и понимаем число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то под их скалярным произведением понимаем число 0.

Обозначаем: × или (, ).

Итак,

× = | |×| | cos j.

 

Следствие 1. ² = | |².

Следствие 2. Пусть и ненулевые векторы. Если их скалярное произведение равно нулю, то они перпендикулярны. Верно и обратное утверждение.

Пусть в базисе { } заданы векторы (), (), ().

Свойство 1. × = .

A

Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов

B

Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = , = . При этом = − . По теореме косинусов получим

( − )² = ² + ² - 2| |×| | cos j =

= ² + ² – 2(, ).

Отсюда находим

(, ) = ( ² + ² − ( - )²).

Ранее мы получили формулу | | = для вычисления длины вектора, которую применим к полученному равенству:

(, ) = ( + - (()

и

× = .

Свойство 2. × = × .

Доказательство. Согласно свойству 1 имеем:

× = ,

× = .

Правые части равны, так как произведение действительных чисел обладает свойством коммутативности. Поэтому и левые части рассматриваемых равенств равны, то есть × = × . Свойство доказано.

Свойство 3. l (, ) = (l , ) = (, l ).

Докажем, например, равенство: l (, ) = (, l ).

Так как

× = ,

то

l (, ) = l() = = (, l ).

Свойство 3 доказано.

Свойство 4. (, + ) = (, ) + (, ).

Доказательство. (, + ) = =

= ( ( =

= ( + =

= (, ) + (, ).

Свойство 3 доказано.

Пример 1. В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны координаты векторов , , . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение. Для решения задачи достаточно показать перпендикулярность векторов и . Так как = + , = + , то находим координаты этих векторов: , (6, −4, 0). Находим скалярное произведение в координатной форме:

× = 6×6 + 9×(−4) +(−3)× 0 = 0.

Следовательно, ^ и диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Пример 2.

Выразить квадрат длины медианы треугольника через длины его сторон.

Решение. Рассмотрим в данном треугольнике ABC медиану BB₁. Введем обозначения: = , = , = ,

= . Тогда справедливо следующее равенство: = ().

Возведем обе части данного равенства в квадрат (скалярно):

 

(1)

Воспользуемся равенством:

.

После возведения обеих его частей скалярно в квадрат получим:

. (2)

Тогда из равенств (1) и (2) вытекает следующее равенство:

.

Учитывая следствие 1, последнее равенство можно записать следующим образом:

,

т.е.

, где , =|BC|, b=|AC|, =|AB|.

 

 

Пример 3.

Дан треугольник . Отрезок - его высота. Выразить вектор через векторы и .

Решение.

A

A

 

 

Так как векторы и неколлинеарные, то представляют собой базис двумерного векторного пространства. Введем обозначение: .

По правилу треугольника (1) и, при этом, (2).

Из равенства (1) и (2) получаем: (3).

Осталось найти число . Для этого используем ортогональность векторов и , откуда имеем: (4).

Из равенств (3) и (4) получаем: ,

т. е. или ,

откуда (5).

Учитывая, что , равенство (5) можно записать следующим образом: (6).

Тогда из равенств (3) и (6) находим вектор :

.

 

Для дальнейшего изложения нам необходимы некоторые сведения из курса алгебры.