Координатные свойства векторов

1.Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

2.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.

Доказательство свойства 1. Пусть в базисе { ₁, ₂, ₃ } имеем () и (). Рассмотрим + = ( ₁+ ₂+ ₃) + ( ₁+ ₂+ ₃). Воспользовавшись свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, раскрываем скобки и группируем слагаемые по базисным векторам. При этом получим

+ = ( + ) ₁ + ( + ) ₂ + ( + ) ₃.

Следовательно, + ( + , + , + ).

Свойство доказано.

Доказательство свойства 2. Пусть в базисе { ₁, ₂, ₃ } имеем () и некоторое число l. Если l = 0, то l = и l = 0, l = 0, l = 0. Свойство 2 справедливо. Если l ¹ 0, то имеем:

l = l ( ₁+ ₂+ ₃) = l ₁+ l ₂+ l ₃,

то есть

l (l , l , l ).

Свойство доказано.

Замечание. Доказанное свойство 1 можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.

При решении задач, связанных с вычислением длин векторов, величины углов мы будем пользоваться так называемым ортонормированным базисом. Этот базис мы обозначаем { }, и при этом выполняются следующие условия: длины векторов равны единице, сами векторы попарно перпендикулярны и образуют так называемую правую тройку (см. § 6).

Теорема 4. Пусть в базисе { } задан вектор (). Тогда

| | = .

Доказательство. Согласно теореме 3 имеем единственное разложение

= + + .

Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: = , = , = , = + + . При этом получим прямоугольный параллелепипед с ребрами ОА, ОВ, ОС и диагональю ОМ, |OA| =| |, |OB| =| |, |ОС| = | |,

|OM| = = .

Теорема доказана.

 

Пример1.

Дан ортонормированный базис В этом базисе задан вектор Найти координаты вектора , который коллинеарен вектору и имеет длину, равную 5.

Решение. Из коллинеарности векторов и следует, что существует единственное число a ¹ 0, такое что . Так как (–1; -2; 2), то координаты вектора будут соответственно равны ()

Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство: , откуда

9 ² =25, ² = , или .

Последнее означает, что задача имеет два решения:

, .

Пример 2.

Треугольник АВС построен на векторах (0,-3,4) и

(2,-1,2) в ортонормированном базисе .

Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.

Решение.

 

 

Построим вектора и такие, что: и , причем . На данных векторах построим ромб . Диагональ AD ромба лежит на биссектрисе угла . Следовательно, вектор параллелен биссектрисе угла и, при этом, = + (1).

Из построения векторов и получаем следующие равенства:

 

= и = .

Из последних равенств и равенства (1) следует, что

 

= + .

Так как и , то

=5 +3 ,

откуда

(10;−14;22).

Так как вектор параллелен биссектрисе угла , то и вектор (5,−7,11) будет параллельным этой биссектрисе. Любой другой вектор , параллельный биссектрисе угла , будет иметь координаты

где

Таким образом, решением является вектор где

 

 

Пример 3.

Дан параллелепипед . Точки и - середины соответственно ребер и . В качестве базисных векторов взяты векторы , , . Найти координаты векторов , и в данном базисе.

Решение.

 

1) (1), (2),

, откуда (3).

Из равенств (1), (2), (3) следует, что .

Используя свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов, получаем следующее равенство: .

Следовательно, .

2) , откуда получаем: .

3) (1), , откуда (2),

, откуда (3).

Из равенств (1), (2) и (3) имеем: .

Следовательно, , откуда .