Смешанное произведение трех векторов

 

Определение. Число [ , ]× - называют смешанным произведение упорядоченной тройки векторов , , .

Обозначаем: (, , ) = = [ , ]× .

Так как в определении смешанного произведения участвуют векторное и скалярное произведения, то их общие свойства являются свойствами смешанного произведения.

Например, ( l ) = l ( ).

 

Теорема 1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.

Доказательство. Если данная тройка векторов , , компланарная, то для векторов выполняется одно их следующих условий.

1. В данной тройке векторов есть хотя бы один нулевой вектор. В этом случае доказательство теоремы очевидно.

2. В данной тройке векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Если || , то [ , ]× = 0, так как [ , ] = . Если

|| , то [ , ] ^ и [ , ]× = 0. Аналогично, если || .

3. Пусть данная тройка векторов компланарная, но, при этом, случаи 1 и 2 не выполняются. Тогда вектор [ , ] перпендикулярен плоскости, которой параллельны все три вектора , , . Следовательно, [ , ] ^ и (, , )=0.

Теорема 2. Пусть в базисе { } заданы векторы (), (), (). Тогда

(, , ) = .

Доказательство. Согласно определению смешанного произведения

(, , ) = [ , ]× = с₁ - с₂ + с₃ = .

В силу свойств определителя имеем:

 

= − = .

Теорема доказана.

Теорема 3. (, , ) = × [ , ].

Доказательство. Так как

(, , ) = ,

а в силу определителя имеем:

= ,

то

(, , ) = = = [ , ]× = × [ , ].

Теорема доказана.

 

Теорема 4. Модуль смешанного произведения некомпланарной тройки векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на представителях данных векторов с общим началом.

Доказательство. Выберем произвольную точку О и откладываем от нее представители данных векторов , , : , . В плоскости ОАВ построим параллелограмм ОАDB и, добавляя ребро ОС, построим параллелепипед ОАDBCA¢D¢B¢. Объём V этого параллелепипеда равен произведению площади основания ОАDB на длину высоты параллелепипеда ОО¢.

Площадь параллелограмма ОАDB равна |[ , ]|. С другой стороны

|OO¢| = | | |cos j|, где j - угол между векторами и [ , ].

Рассмотрим модуль смешанного произведения:

|(, , )| = | [ , ]× | = |[ , ]|×| |×|cos j| = |[ , ]|×|OO¢| = V.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если смешанное произведение тройки векторов равно нулю, то эта тройка векторов линейно зависимая.

Замечание 2. Если смешанное произведение данной тройки векторов положительно, то тройка векторов правая, а если отрицательно, то тройка векторов левая. Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cos j, а величина угла j определяет ориентацию тройки , , . Если угол j - острый, то тройка правая, а если j - тупой угол, то тройка левая.

 

Пример 1.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и координаты следующих векторов в ортонормированном базисе: .

Найти: 1) объем параллелепипеда;

2) площади граней ABCD и CDD₁C;

3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD₁.

Решение.

1) Данный параллелепипед построен на векторах

Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.

(куб.ед.)

Итак, V_пар=12 куб.ед.

2) Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Т.о. .

Введем обозначение: ,тогда

 

Следовательно, , откуда

.

Т.о. кв.ед.

Аналогично,

Пусть , тогда

,

откуда и

Значит кв.ед.

3) Введем следующие обозначения: пл. (АВС)= , пл. (DCC₁)= .

.

Согласно определению векторного произведения имеем:

и .

А значит справедливо следующее равенство:

.

Из второго пункта решения имеем:

.

 

Пример 2.

Доказать, что если , , - взаимно перпендикулярные единичные векторы, то для любых векторов и справедливо равенство: (1).

Решение.

Пусть в ортонормированном базисе { , , } заданы координаты векторов: ; . Так как , , , то по свойству смешанного произведения имеем:

.

.

.

Таким образом, равенство (1) можно записать в следующей форме: , а это одно из доказанных свойств векторного произведения векторов и . Тем самым справедливость равенства (1) доказана.

 

 

Решение нулевого варианта

Контрольной работы

Задание № 1.

Вектор образует с базисными векторами и соответственно углы и . Определить угол, который образует вектор с вектором .

Решение.

Построим параллелепипед на векторах , , и диагональю , такой, что векторы и равны.

Тогда в прямоугольном треугольнике с прямым углом , величина угла равна , откуда .

Аналогично в прямоугольном треугольнике с прямым углом величина равна , откуда .

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора , но и , тогда .

В прямоугольном треугольнике с прямым углом катет , а гипотенуза . Значит, величина угла равна . Но угол равен углу между векторами и . Тем самым задача решена.

 

Задание № 2.

Заданы три вектора , , в базисе { , , }. Доказать, что четырехугольник - плоский, найти его площадь.

 

 

Решение.

1) Если векторы , и компланарные, то - плоский четырехугольник. Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов.

.

Так как определитель равен нулю, то векторы , и компланарные, а значит, четырехугольник - плоский.

2) Заметим, что , поэтому и , таким образом четырехугольник трапеция с основаниями АВ и CD.

 

C

D

 

 

Тогда . А по свойству векторного произведения , .

Так как , то

Так как , то

По одному из свойств векторного произведения имеем:

, откуда .

Значит .

, откуда .

Значит .

Тогда

Задание № 3. Найти вектор , коллинеарный вектору , у которого длина равна 5.

Решение.

Обозначим координаты вектора (х, у, z). Как известно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, и поэтому имеем:

х = 2t, y = t, z = − 2t.

По условию задачи | | = 5, а в координатной форме: . Выражая переменные через параметр t, получим: 4t² +t² +4t² =25 и t² = . Таким образом, t = ± и х = ± , у = ± , z = . Получили два решения: ₁ (; ; − ), ₂ (− ;− ; ).

 

 

Тест

Вариант 0.

А 1. Лучи [А, В) и [С, D), лежащие на одной прямой (А, В) называются сонаправленными, если

Вар. отв.: 1) они лежат в одной полуплоскости с границей (А,С);

2) их пересечением является луч; 3) они не пересекаются;

4) другой ответ.

А 2. Свойство лучей быть противоположно направленными

Вар. отв.: 1) транзитивно; 2) симметрично; 3) рефлексивно; 4) другой ответ

А 3. Вектором в пространстве мы называем

Вар. отв.: 1) отрезок; 2) направленный отрезок; 3) класс эквиполлентных направленных отрезков; 4; другой ответ.

А 4. Вычислить определитель: .

Вар. отв.: 1) 17; 2) 16; 3) –17; 4) 12.

А 5. Найти длину вектора (5, 4, 0).

Вар. отв.: 1) ; 2) ; 3) 9; 4) др.отв.

А 6. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?

Вар. отв.: 1) 5; 2) -4; 3) 10; 4) 4.

А 7. Найти сумму , если векторы и коллинеарные.

Вар. отв.: 1)6; 2) 18; 3) -6; 4) 0.

 

А 8. Если , то векторы и
1) сонаправлены; 2) противоположно направлены; 3) перпендикулярны, 4) равны.

А 9. Дано: . Модуль вектора равен
1) 1; 2) ; 3) , 4) 5.

А 10. Вычислить определитель: .
1) 1; 2) 3; 3) -1, 4) -3.

А 11. Найти векторное произведение векторов (0; -1; 1). (1; -1; 3)

Вар. отв.: 1) (-2; -1; 1); 2) (-2; 1; 1); 3) (2; 1; 2); 4) др.отв.

А 12. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .
1) 30; 2) 15; 3) 60, 4) др.

А 13. Какая из следующих троек векторов является компланарной?
1) . 2) ;

3) ; 4) (1; –2; 1), (3; 2; 1), (1; 0; –1).

А 14. Найти вектор , перпендикулярный векторам и такой, что , и при этом тройка векторов - левая.

1) 2) 3) , 4) .

А 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

(1; –2; 1), (3; 2; 1) и (1; 0; –1).
1) 24; 2) 10; 3) 12.; 4) 0.

 

 

№

отв

 

Список литературы

1. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия. Ч. 1. - М.: Просвещение, 1986.

3. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Геометрия. - Ч. 1. - М.: Просвещение, 1974.

4. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Под ред. В.Т. Базылева. Сборник задач по геометрии. - М.: Просвещение, 1980.

5. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч.пособие. –М.:, 2003.

6. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие. –М.: Высшая школа, 2005.

7. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.- С. Петербург, 1997.

8. Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. - М.: Просвещение, 1973.

9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. –М., 2004. –464 с.

10. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. –.М.: Физматлит, 2003. –584 с.

11. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.1. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. –271 с.

12. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.2. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. –267 с.

13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. –М.: МГУ, 1980. –320 с.

14. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964.

15. А.В. Погорелов. Геометрия. - М.: Наука, 1984.

16. О.Н. Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1966.