Лекция 1. Функциональная взаимосвязь

Лекция 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ

Вопросы:

1. Множества и операции над ними.

2. Понятие функции.

3. Уравнение прямой и взаимное расположение прямых на плоскости.

4. Уравнение плоскости.

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

6. Кривые второго порядка.

Множества и операции над ними

Опр.: Множество – совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое.

Объекты, которые образуют множество называются элементами или точками этого множества.

Пример:

1) Множество студентов группы.

2) Множество предприятий страны.

3) Множество R.

Обозначение:

Если

 

Опр.: Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается Ø.

Множество действительных корней Ø.

B является подмножеством А,

если

Опр.: Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

.

Операции над множествами:

1. Объединение

каждый элемент хотя бы

одному из множеств А или В.

 

2. Пересечением каждый элемент принадлежащий и множеству А, и множеству В.

 

 

Ø

 

3. Разностью двух множеств А и В

называется С = А \ В,

каждый элемент множеству А,

но .

 

Пример:

А \ В

А \ В

Понятие функции

Понятие функции является центральным для всей математики.

Опр.: Постоянной величиной называется величина сохраняющая одно и то же значение (π = 3,14…, е = 2,7182…).

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то она называется параметром.

Опр.: Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Опр.: Если каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана, функция .

X – область определения

Y – область значения.

x – называется независимой переменной (аргументом)

y – зависимая переменная

– обозначает знак соответствия

Опр.: Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий (+, –,:, *) n операций сложной функции, называется элементарными.

Опр.: Пусть функция определена на множестве U с областью значений Y, а переменная U является функцией , определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией или композицией функций .

Обратная функция

Опр.: Пусть : . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором , тогда функция называется обратной.

Вопросы:

1. Уравнение прямой и взаимное расположение прямых на плоскости.

2. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости

 

(1)

если . Здесь А, В, С – координаты вектора

(вектор перпендикулярен плоскости)

Частные случаи расположения плоскости:

а)

б)

в)

г)

 

Уравнение плоскости в отрезках

Если в уравнении (1) , то разделив уравнение на , получим:

(2)

а, b, c – соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Оx, Oy, Oz.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки ; ; имеет вид:

(3)

 

Прямые в пространстве

Прямая может быть задана уравнением двух плоскостей:

(8)

Уравнение прямой, проходящей через две точки и

(9)

Каноническое уравнение прямой

(10)

проходящей через точку и параллельную вектору (направляющий вектор)

, т.е.

Параметрические уравнения прямой: приравняв (10) к t получим:

(11)

Вопросы:

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

2. Кривые второго порядка.

2.1. Окружность.

2.2. Эллипс.

2.3. Гипербола.

2.4. Парабола.

Кривые второго порядка

Окружность

Опр.: Окружностью называют геометрическое место точек, одинаково удаленных от заданной точки, называемой центром.

Обозначим центр точкой если , а расстояние, на которое точки окружности удалены от центра называются радиусом: (R).

Выведем каноническое уравнение окружности:

 

 

Возьмем на окружности текущую точку , по формуле расстояния между двумя заданными точками:

Получим:

(1)

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение (1) упрощается:

(1')

 

Эллипс

Опр.: Эллипс – геометрическое место точек сумма расстояний от которых до двух заданных точек (называемых фокусами) – есть величина постоянная (равная 2 а).

 

 

Расстояние между фокусами F ₁ и F ₂ равно 2 с

а > c

r ₁ и r ₂ – фокальные радиусы

Выведем каноническое уравнение эллипса для случая, когда его фокусы лежат на оси Ox, симметрично относительно начала координат.

Возьмем на эллипсе текущую точку . По определения эллипса

После элементарных преобразований (сделать самостоятельно), получим уравнение:

Обозначим , получим:

(2)

– каноническое уравнение эллипса.

Точки , и , – вершины эллипса.

А ₁ А ₂ – большая ось = 2 а

В ₁ В ₂ – малая ось = 2 b

а – большая полуось

b – малая полуось

Показатель «выпуклости» эллипса – эксцентриситет:

т.к. , то

если – окружность.

Гипербола

Опр.: Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек (называются фокусами) величина постоянная и равна 2 а, причем 2 а < 2 с ⇒ а < с.

 

 

Каноническое уравнение гиперболы аналогично эллипсу:

(3)

– сопряженная гипербола

Гипербола строится из а и b.

Перепишем уравнение гиперболы в виде:

при и уравнение принимает вид:

т.е. при ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым

– асимптоты гиперболы.

Оx – действительная ось гиперболы

Оy – линейная ось гиперболы

эксцентриситет , т.к. с > 0

Оптические свойства:

1. Лучи света, выходящие из эллипса после отображения от эллипса проходят через .

2. Лучи, исходящие из одного фокуса гиперболы после зеркального отображения – мнимый фокус .

3. Лучи света из параболы после отражения образуют пучок параллельный оси параболы.

Парабола

Опр.: Параболой называется геометрическое месторасположение точек на плоскости равноудаленных от заданной точки-фокуса и заданной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы равно p.

Выведем каноническое уравнение параболы для случая, когда, его фокус лежит на оси Ох. ⇒ Директриса перпендикулярна оси Ох, а начало координат делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

 

(5)

– каноническое уравнение параболы.

– ветви вправо, если p > 0

– ветви влево, если p < 0

– ветви вверх, если p > 0

– ветви вниз, если p < 0

Вершина параболы может находиться в точке , тогда:

 

Лекция 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

1. Предел числовой последовательности.

2. Предел функции в бесконечности и в точке.

3. Замечательные пределы.

4. Непрерывность функции Основные теоремы о пределах

 

Основные теоремы о пределах

Бесконечно большая величина – переменная, предел которой равен + ∞ или
– ∞.

Бесконечно малая величина – переменная, предел которой равен 0.

Свойства:

1. и

2. Если а и b – б.м.в., то

3. Если а и b – б.б.в., то

Теорема 1: Предел постоянной равен самой этой постоянной, т.к. если

Теорема 2: Пусть существует , тогда

1)

2)

3) Если В ≠ 0, то

 

Лемма («о двух милиционерах»)

Если функции удовлетворяют условию и если , то .

Примеры: вычисления пределов и раскрытие неопределенностей

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Доказательство:

 

по лемме о двух милиционерах:

Второй замечательный предел

Функция называется бесконечно малой функцией при , если

Если и – б.м.ф., то

1)

2)

3) произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть б.м.ф.

Бесконечно большая функция

Опр.: Две функции и называются эквивалентными при , если обозначается ∼

Пример:

при

 

Непрерывность функции

 

Опр.: Функция называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

 

 

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если она определена в некоторой окрестности слева (справа) от точки и

Опр.: Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Опр.: Точки, в которых, функция не является непрерывной называются точками разрыва.

 

Классификация точек разрыва

1.

Если

т.е.

но

(если в точке функция не определена)

то – точка устранимого разрыва I-го разряда.

Пример:

при функция неопределенна.

т.о. – точка устраняемого разрыва 1-го рода.

Доопределив функцию в токе , получим:

Новая функция будет уже непрерывна в точке .

2.

 

 

то – точка конечного разрыва I-го рода.

 

Опр.: Скачком функции в точке разрыва I-го рода называется величина:

Пример:

при

в точке разрыв I рода.

3. Все остальные – точки разрыва II рода.

 

 

 

Пример:

при функция неопределенна

Т.к. односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то – точка разрыва II-го рода.

Примеры вычисления замечательных приделов:

1. т.к.

2.

3.

т.к. при

 

Правила дифференцирования

Схема вычисления производной:

1. Дать аргументу приращение , найти значения функции .

2. Найти приращение функции .

3. Составить отношение

4. Найдем предел этого отношения при , т.е. (если этот придел существует).

Пример:

1.

2.

3.

4.

Т.о. .

Можно доказать, что .

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Таблица производных:

1.

2.

 

3.

4.

5.

6.

7.

Производная сложной функции:

Теорема: Если и – дифференцируемы функции от своих аргументов, то производная сложной функции:

Действительно:

Пример:

1)

, получим

2)

 

 

Производная обратной функции:

Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция так же дифференцируема и справедлива формула:

Пример:

Первообразная функции

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.

Интегральное счисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Опр.: Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка

Например:

1) является первообразной для функции , т.к.

2. на промежутке для , т.е.

Исходя из геометрического смысла производной: – угловой коэффициент касательной к кривой в точке х

Значит, найти первообразную для – найти такую кривую , что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению заданной функции в этой точке

 

 

Следует заметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно.

Например:

Функции , и вообще функции , где С – некоторое действительное число, являются первообразными для функции

В общем случае, если – некоторая первообразная для , то поскольку

функции вида , где С – произвольное число так же являются первообразными для .

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая , удовлетворяющая условию , то сдвигая ее вдоль оси Оу, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной).

Опр.: Совокупность всех первообразных для функции на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции .

Обозначение:

– знак интеграла

х – переменная интегрирования

– подинтегральная функция

– подинтегральное выражение

Пример:

1)

2)

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрирование функции (обратная к операции дифференцирования).

Таблица интегралов основных элементарных функций

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Справедливость приведенных формул проверяется дифференцированием:

Пример:

Примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Метод замены переменной

Пусть – функция, дифференцируемая на промежутке X, тогда

Доказательство:

Продифференцируем обе части этого равенства попеременной t:

так как принимает , то равенство верно.

 

Пример:

Замечание:

Новую переменную можно не выписывать явно, а интегрировать путем внесения множителя под знак дифференциала.

Исходя из свойств дифференциала:

а) Постоянный множитель

1)

2)