Взаимное расположение плоскостей

1. Угол между двумя плоскостями:

и определяется по формуле:

(4)

Отсюда:

Условия параллельности плоскостей:

(5)

Условия перпендикулярности плоскостей:

(6)

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле:

(7)

Если , то М ₀ и О (0; 0; 0) расположены по одну сторону от плоскости.

Если , то М ₀ и О (0; 0; 0) расположены по разные стороны от плоскости.

 

Прямые в пространстве

Прямая может быть задана уравнением двух плоскостей:

(8)

Уравнение прямой, проходящей через две точки и

(9)

Каноническое уравнение прямой

(10)

проходящей через точку и параллельную вектору (направляющий вектор)

, т.е.

Параметрические уравнения прямой: приравняв (10) к t получим:

(11)

Вопросы:

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

2. Кривые второго порядка.

2.1. Окружность.

2.2. Эллипс.

2.3. Гипербола.

2.4. Парабола.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями

и определяется по формуле:

(12)

Условие параллельности двух прямых:

(13)

Условия перпендикулярности двух прямых:

(14)

Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданных каноническими уравнениями, в одной плоскости:

(15)

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

(16)

Условие параллельности плоскости и прямой:

(17)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

(18)

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью нужно решить совместно их уравнения, используя уравнение (11):

а) если

б) если

в) если

Кривые второго порядка

Окружность

Опр.: Окружностью называют геометрическое место точек, одинаково удаленных от заданной точки, называемой центром.

Обозначим центр точкой если , а расстояние, на которое точки окружности удалены от центра называются радиусом: (R).

Выведем каноническое уравнение окружности:

 

 

Возьмем на окружности текущую точку , по формуле расстояния между двумя заданными точками:

Получим:

(1)

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение (1) упрощается:

(1')

 

Эллипс

Опр.: Эллипс – геометрическое место точек сумма расстояний от которых до двух заданных точек (называемых фокусами) – есть величина постоянная (равная 2 а).

 

 

Расстояние между фокусами F ₁ и F ₂ равно 2 с

а > c

r ₁ и r ₂ – фокальные радиусы

Выведем каноническое уравнение эллипса для случая, когда его фокусы лежат на оси Ox, симметрично относительно начала координат.

Возьмем на эллипсе текущую точку . По определения эллипса

После элементарных преобразований (сделать самостоятельно), получим уравнение:

Обозначим , получим:

(2)

– каноническое уравнение эллипса.

Точки , и , – вершины эллипса.

А ₁ А ₂ – большая ось = 2 а

В ₁ В ₂ – малая ось = 2 b

а – большая полуось

b – малая полуось

Показатель «выпуклости» эллипса – эксцентриситет:

т.к. , то

если – окружность.

Гипербола

Опр.: Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек (называются фокусами) величина постоянная и равна 2 а, причем 2 а < 2 с ⇒ а < с.

 

 

Каноническое уравнение гиперболы аналогично эллипсу:

(3)

– сопряженная гипербола

Гипербола строится из а и b.

Перепишем уравнение гиперболы в виде:

при и уравнение принимает вид:

т.е. при ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым

– асимптоты гиперболы.

Оx – действительная ось гиперболы

Оy – линейная ось гиперболы

эксцентриситет , т.к. с > 0

Оптические свойства:

1. Лучи света, выходящие из эллипса после отображения от эллипса проходят через .

2. Лучи, исходящие из одного фокуса гиперболы после зеркального отображения – мнимый фокус .

3. Лучи света из параболы после отражения образуют пучок параллельный оси параболы.

Парабола

Опр.: Параболой называется геометрическое месторасположение точек на плоскости равноудаленных от заданной точки-фокуса и заданной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы равно p.

Выведем каноническое уравнение параболы для случая, когда, его фокус лежит на оси Ох. ⇒ Директриса перпендикулярна оси Ох, а начало координат делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

 

(5)

– каноническое уравнение параболы.

– ветви вправо, если p > 0

– ветви влево, если p < 0

– ветви вверх, если p > 0

– ветви вниз, если p < 0

Вершина параболы может находиться в точке , тогда:

 

Лекция 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

1. Предел числовой последовательности.

2. Предел функции в бесконечности и в точке.

3. Замечательные пределы.

4. Непрерывность функции Основные теоремы о пределах