Предел числовой последовательности

Опр.: Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность

– элементы числовой последовательности.

– общий член или n -ый член.

Рассмотрим

Опр.: Число А называется пределом числовой последовательности , если найдется такой номер N (зависящий от , что для всех элементов последовательности с номерами n > N верно неравенство:

 

0 1

Геометрический смысл: Число A – есть , если все члены будут заключены в ε -окрестность точки А, какой бы узкой она не была. Вне этой окрестности – только конечное число членов .

Опр.: Последовательность называется сходящейся если существует конечный предел этой последовательности, в противном случае последовательность называется расходящейся.

Предел функции в бесконечности и в точке

Опр.: Число А называется пределом функции при х сходящемся к а, если найдется такое , что при выполняется .

Обозначение:

 

В определении не требуется, чтобы функция была определена и в предельной точке, но она должна быть определена в какой-либо окрестности предельной точки (за вычетом самой предельной точки).

Опр.: Если и , то пишут ; если и , то пишут . Соответствующие пределы:

и

называются левосторонними и правосторонними пределами функции в точке а.

Для существования двухстороннего предела функции что существовали и и они совпадали.

Если функция является элементарной и ее предельные значения аргумента (а) принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к подстановке предельного значения аргумента, т.е.

если

Опр.: Число В называется пределом функции в ∞, если найдется такое число S, что выполняется неравенство .

 

 

 

Основные теоремы о пределах

Бесконечно большая величина – переменная, предел которой равен + ∞ или
– ∞.

Бесконечно малая величина – переменная, предел которой равен 0.

Свойства:

1. и

2. Если а и b – б.м.в., то

3. Если а и b – б.б.в., то

Теорема 1: Предел постоянной равен самой этой постоянной, т.к. если

Теорема 2: Пусть существует , тогда

1)

2)

3) Если В ≠ 0, то

 

Лемма («о двух милиционерах»)

Если функции удовлетворяют условию и если , то .

Примеры: вычисления пределов и раскрытие неопределенностей

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Доказательство:

 

по лемме о двух милиционерах:

Второй замечательный предел

Функция называется бесконечно малой функцией при , если

Если и – б.м.ф., то

1)

2)

3) произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть б.м.ф.

Бесконечно большая функция

Опр.: Две функции и называются эквивалентными при , если обозначается ∼

Пример:

при

 

Непрерывность функции

 

Опр.: Функция называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

 

 

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если она определена в некоторой окрестности слева (справа) от точки и

Опр.: Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Опр.: Точки, в которых, функция не является непрерывной называются точками разрыва.

 

Классификация точек разрыва

1.

Если

т.е.

но

(если в точке функция не определена)

то – точка устранимого разрыва I-го разряда.

Пример:

при функция неопределенна.

т.о. – точка устраняемого разрыва 1-го рода.

Доопределив функцию в токе , получим:

Новая функция будет уже непрерывна в точке .

2.

 

 

то – точка конечного разрыва I-го рода.

 

Опр.: Скачком функции в точке разрыва I-го рода называется величина:

Пример:

при

в точке разрыв I рода.

3. Все остальные – точки разрыва II рода.

 

 

 

Пример:

при функция неопределенна

Т.к. односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то – точка разрыва II-го рода.

Примеры вычисления замечательных приделов:

1. т.к.

2.

3.

т.к. при