Лекция 3. Производные и их вычисление

Вопросы:

1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

2. Правила дифференцирования.

3. Производные высших порядков. Дифференциал функции.

1. Понятие производной

Пусть М – некоторая точка кривой γ

Если и , то

секущая , если она

существует. Предельное положение

– касательная к γ в точке М.

Пусть определена в некоторой точке х и ее окрестности. Дадим аргументы х приращение , при этом . Тогда функция получит приращение .

 

 

Опр.: Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю, если это предел существует.

Обозначения

Итак, по определению

(*)

Процесс нахождения производной называется дифференцированием этой функции.

Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если существует предел см. (*).

Непрерывность есть необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.

Функция непрерывная в некоторой точке х может быть и не дифференцируемой в этой точке.

Пример: в точке х = 0 не дифференцируема.

Геометрический смысл производной

Секущая MN при становится касательной , т.е.

Т.е. производная функции в точке х равна угловому коэффициенту касательной в точке к кривой заданной уравнением .

Физический смысл производной

Если за промежуток времени тело прошло путь , то средняя скорость движения тела равна

При получим мгновенную скорость в t, т.е.

Правила дифференцирования

Схема вычисления производной:

1. Дать аргументу приращение , найти значения функции .

2. Найти приращение функции .

3. Составить отношение

4. Найдем предел этого отношения при , т.е. (если этот придел существует).

Пример:

1.

2.

3.

4.

Т.о. .

Можно доказать, что .

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Таблица производных:

1.

2.

 

3.

4.

5.

6.

7.

Производная сложной функции:

Теорема: Если и – дифференцируемы функции от своих аргументов, то производная сложной функции:

Действительно:

Пример:

1)

, получим

2)

 

 

Производная обратной функции:

Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция так же дифференцируема и справедлива формула:

Пример:

Дифференциал функции. Производные высших порядков

Опр.: Выражение называется дифференциалом функции .

Он имеет следующие свойства:

1)

2)

золотые свойства дифференциала, которые пригодятся при нахождении интегралов функции.

Опр.: Т.к. производная функции в свою очередь так же является функцией то ее можно продифференцировать. Производной n -го называется от производной (n –1)-го порядка.

Обозначение:

– 2-го порядка

– 3-го порядка

…….

– n-го порядка

или

 

Пример:

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков: