Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки М ₀(x ₀; y ₀; z ₀) до плоскости, заданной общим уравнением (1.22) находится по формуле

.

Уравнение плоскости в отрезках

Если общее уравнение плоскости (3.22) разделить на , то получим уравнение плоскости в отрезках

(3.23)

В уравнении (3.23) и – координаты точек пересечения плоскости (3.22) с осями координат О х, О y и О z, соответственно (рис.3.11).

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки M ₁(x ₁; y ₁; z ₁), M ₂(x ₂; y ₂; z ₂) и M ₃(x ₃; y ₃; z ₃). Тогда векторное уравнение плоскости, проходящей через три точки, будет иметь вид:

,

где радиус–векторы точек плоскости, точка М (x; y; z) – произвольная точка плоскости. из условия компланарности трех векторов (свойство смешанного произведения) следует уравнение плоскости. В координатной форме это уравнение примет вид

(3.24)

Пример:

Составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку М₀(–2;3;2), параллельно двум векторам и

Решение: пусть М (x; y; z) – текущая точка плоскости. Векторы и компланарны относительно плоскости Q. Из условия компланарности трех векторов (3.24) получим векторное уравнение плоскости Q. В координатной форме уравнение плоскости Q будет иметь вид

или 2 х + 7 у + 3 z – 23 = 0.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М ₁(–2;–4;2), М ₂(3;–1;0), М ₃(1;5;–2).

Решение: пусть М (x; y; z) – текущая точка плоскости. тогда, применяя формулу (3.24), получим

или 2 х + 7 у + 18 z – 2 = 0.

Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны две плоскости А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ =0. Тогда угол φ между этими плоскостями определяется по формуле

из которой следует условие параллельности плоскостей

и их перпендикулярности

.

Пример:

найти угол  между плоскостями

3 х – 5 у + 8 z – 2 = 0 и 5 х + 4 у – 3 z + 7 = 0.

Решение:

.

Прямая линия в пространстве

1. Поскольку прямую можно трактовать, как линию пересечения двух плоскостей, то её можно задать системой уравнений двух плоскостей

2. Как и на плоскости, прямую линию в пространстве можно задать координатами двух точек M ₁(x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂(x ₂; y ₂; z ₂). Уравнения прямой находим из условия коллинеарности двух векторов и в виде

, (3.25)

где M (x; y; z) – текущая точка на прямой линии.

3. В уравнениях (3.25) введем обозначения . Тогда вектор можно рассматривать как проекции вектора, параллельного прямой М ₁ М ₂. Из условия коллинеарности двух векторов и получим канонические уравнения прямой

. (3.26)

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Полученная прямая линия (3.26) проходит через точку M ₁(x ₁; y ₁; z ₁) и образует с осями координат углы α, β и γ, косинусы которых определяются по формулам

.

4. Канонические уравнения преобразуется в параметрические уравнения прямой .

Пример:

Привести к каноническому виду уравнения прямой линии

Решение: определим координаты какой-либо точки на прямой линии. Для этого положим в обоих уравнениях z = 0:

Отсюда определим х = 2 и у = – 1. Таким образом, получим точку М ₀(2; –1;0). Направляющий вектор , где и . Таким образом,

.

По формуле (3.26) найдем канонические уравнения:

, или .