Показательная форма комплексного числа

Правила умножения, деления и возведения в степень для комплексных чисел совпадают с аналогичными правилами для степенной функции, поэтому возможна запись комплексных чисел в тригонометрической

и

и в показательной форме:

, и

соответственно.

Формулы (4.3) являются также формулами перевода комплексных чисел из алгебраической в показательную форму.

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в показательной форме выполняются по формулам

Показательная форма не только обладает свойствами тригонометрической формы, но и позволяет производить дополнительные действия с комплексными числами (например, вычислить iⁱ).

Задания для самостоятельной работы

1. Найти все значения корней.

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.

2. Вычислить: 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. . 2.5. .

Вопросы для самоподготовки

Что называется числовой осью?

Какая числовая прямая называется расширенной?

3. Что называется модулем действительного числа?

4. Какое множество называется ограниченным?

5. Что такое нижняя и верхняя грани множества?

6. Что называется расстоянием между точками?

7. Какое множество называется окрестностью точки?

8. Что такое проколотая окрестность точки?

9. Какое число называется комплексным?

10. Геометрическое представление комплексных чисел.

11. Модуль и аргумент комплексного числа.

12. Формы представления комплексных чисел.

13. Как выполняется сложение и вычитание комплексных чисел, заданных в алгебраической форме?

14. Как выполняется умножение и деление комплексных чисел, заданных в алгебраической, тригонометрической и показательной формах?

15. Как возвести комплексное число в целую положительную степень?

16. Формула Муавра.

1. Как извлекается корень целой положительной степени из комплексного числа?

Числовая последовательность и её предел

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что этим определена последовательность чисел х ₁, х ₂, …, х _n, …, которую обозначают { х_n }.

х_n - называют общим членом последовательности.

Например,

Из определения следует, что последовательность является функцией, отображающей множество N на R.

Определение. Если дана последовательность { х_n } и из её членов образована новая последовательность, то она называется подпоследовательностью этой последовательности и обозначается , k ÎN.

Определение. Последовательность {х_n} называется ограниченной, если существует число С > 0 такое, что для всех n >N.

Например, последовательность ограничена, так как , С=1.

Предел последовательности

Пусть { х_n } числовая последовательность.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности { х_n } и обозначается

,

если для любого положительного сколь угодно малого ε существует целое положительное , такое, что для любого n≥ N выполняется неравенство .

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Последовательность { х_n } будем называть бесконечно большой, если для любого существует целое положительное N, такое, что для любого n≥ N выполняется неравенство M.

Пример:

Пусть . Доказать, что число является пределом этой последовательности.

.

Найдем N, начиная с которого выполняется для любого .

Для этого решим неравенство . Если , то .

За N примем , где - целая часть числа а.

Начиная с номера , выполняется неравенство , то есть является пределом данной последовательности.