Модуль действительного числа

Определение. Модулем действительного числа х называется неотрицательное число, определяемое условием

Если e > 0 - произвольное число, то из неравенства следует, что или .

Свойства модуля действительного числа

Пусть а и b – произвольные действительные числа. Тогда:

1. 2. ;

3. – неравенство Коши – Буняковского; 4.

Ограниченные множества

Определение. Множество D Ì R называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число b, что х £ b, " х Î D. Аналогично - D ограничено снизу, если существует такое действительное число а, что х ³ а, " х Î D.

Определение. Множество D называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть множество D ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на конечном отрезке [ а; b ] (рис.4.1).

 

 

Множество, состоящее из конечного числа точек - ограничено.

Примеры:

1. Множество натуральных чисел ограничено снизу любым числом а £ 1.

2. Множество отрицательных чисел ограничено сверху любым числом

b ³ 0.

Определение. Множество неограниченное сверху или снизу называется неограниченным.

Теорема: множество D Ì R –неограниченно, если " М > 0 $ х Î D, такое что ç х ç> М.

Например, множество целых чисел Z неограниченно. Неограниченными множествами являются бесконечные интервалы (-¥; +¥), (-¥; b), (а; +¥).

Нижние и верхние грани множества

Если действительное число b ограничивает множество D сверху, то b называется верхней гранью множества D. Любое число больше b, тоже является верхней гранью множества D.

Наименьшая верхняя грань множества D называется точной верхней гранью и обозначается sup D = M или sup{ x } = M (латинское слово supremum - наибольший).

Из определения точной верхней грани вытекают следующие свойства:

M есть верхняя грань множества D, то есть " х Î D выполняется неравенство х £ M;

" e > 0 найдется число х Î D, такое, что M – e < х £ M.

Аналогично определяется точная нижняя грань множества D. Наибольшая нижняя грань множества D называется точной нижней гранью и обозначается

inf D = m или inf{ x } = m (латинское слово infimum - наименьший).

Точная нижняя грань m множества D характеризуется свойствами:

m есть нижняя грань множества D, то есть " х Î D выполнено неравенство х ³ m;

" e > 0 найдется число х Î D, такое, что m < х £ m + e.

Принадлежность множеству D верхней и нижней грани необязательна. Существование inf D и sup D у ограниченного множества очевидно.

Точной верхней гранью неограниченного множества является (+¥). Точной нижней гранью неограниченного множества является (–¥).

Например, sup [ a; + ¥) = +¥, inf (–¥; b ] = –¥, sup Z = +¥, inf Z = –¥.

Окрестность точки

Определение. Расстоянием между числами х ₁ и х ₂ называется число r(х _1, х ₂) = ê х ₁ - х ₂ ê.

Определение. e - окрестностью точки a Î R., называется множество действительных чисел

U _e(a) = r (х, a) = ê х - a ê< e (рис.4.2).

Проколотой окрестностью называется окрестность, из которой удалена сама точка a (рис.4.3).

 

Комплексные числа