Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей

Отношение двух бесконечно малых при х → а функций можно заменить в пределе на отношение их производных , если эти функции дифференцируемы в заданной точке и существует предел отношения их производных. Это правило справедливо и для бесконечно больших функций.

При раскрытии неопределённостей вида и можно применить равенство:

. (7.13)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 5 (Коши).

Вычисление предела по формуле (7.13) называется правилом Лопиталя.

Если частное в точке х = а также есть неопределённость вида или , то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

Неопределённости вида 0∙∞ и ∞ – ∞ следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы получилась неопределённость или и далее воспользоваться правилом Лопиталя.

Неопределённости вида 0⁰ или ∞⁰ или 1^∞ раскрываются после логарифмирования функции и нахождения предела её логарифма.

Пример:

Вычислить данные пределы по правилу Лопиталя:

1.

Решение: подстановка предельного значения х = 1 приводит к неопределенности вида . Применяя правило Лопиталя, получим

2.

Решение: преобразуем функцию:

Подстановка предельного значения х = ∞ приводит к неопределенности вида . Применяя правило Лопиталя дважды, получим

.

3.

Решение: имеем неопределенность ∞ – ∞. Преобразуем функцию:

.

4.

Решение: имеем неопределенность . Применяя правило Лопиталя, получим

– опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

– применяем правило Лопиталя еще раз.

.

Исследование функций

Возрастание и убывание функций. Экстремум функций

Определение. Функция f (х) называется возрастающей в точке х ₀, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие

f (х ₀ – h) < f (х ₀) < f (х ₀ + h).

признаком возрастания функции в точке х₀ является условие f ′(х ₀) > 0.

Определение. Функция f (х) называется убывающей в точке х ₀, если при любом достаточно малом h > 0 выполняется условие f (х ₀ – h) > f (х ₀) > f (х ₀ + h).

признаком убывания функции в точке х₀ является условие f ′(х ₀) < 0.

Определение. Функция f (х) называется возрастающей в интервале (а; b), если для любых двух точек х ₁ и х ₂ из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для х ₂ > х ₁ всегда

f (х ₂) > f (х ₁).

Определение. Функция f (х) называется убывающей в интервале (а; b), если для любых двух точек х ₁ и х ₂ из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. для х ₂ > х ₁ всегда

f (х ₂) < f (х ₁).

Определение. Точка х ₀ называется точкой локального минимума функции, если при любом достаточно малом h > 0, функция убывает в интервале (х ₀– h; х ₀), и возрастает в интервале (х ₀; х ₀+ h). Значение f (х ₀) называется минимумом функции.

Определение. Точка х ₀ называется точкой локального максимума функции, если при произвольном достаточно малом h > 0, функция возрастает в интервале (х ₀– h; х ₀), и убывает в интервале (х ₀; х ₀+ h). Значение f (х ₀) является максимумом функции.

Экстремум функции означает наличие минимума или максимума функции в точке х ₀. Точка х ₀ есть точка экстремума функции.

Условия существования экстремума функции

Необходимое условие существования экстремума:

Если функция f (х) имеет в точке х ₀ экстремум, то производная f '(х) обращается в ноль в точке х = х ₀, f '(х ₀) = 0 (теорема 2 Ферма), или не существует.

Первый достаточный признак существования экстремума:

Если при произвольном достаточно малом h > 0, выполняются неравенства f '(х ₀ – h) > 0 и f '(х ₀ + h) < 0, то функция f (х) в точке х ₀ имеет максимум. Если же при этих условиях выполняются неравенства f '(х ₀ – h) < 0 и f '(х ₀ + h) > 0, то функция f (х) в точке х ₀ имеет минимум. Говорят, что производная в точке максимума с слева и справа меняет знак с плюса на минус, а в точке минимума – с минуса на плюс.

Второй достаточный признак существования экстремума:

Если f '(х ₀) = 0, а f ''(х ₀) ≠ 0, то функция f (х) имеет экстремум в точке х ₀. При f ''(х ₀) < 0 – максимум; при f ''(х ₀) > 0 – минимум.

Если f ''(х ₀) = 0 (при f '(х ₀) = 0), то вопрос о наличии в точке х ₀ экстремума или перегиба (переход графика с вогнутости на выпуклость или наоборот) решается взятием следующей по порядку производной, до тех пор, пока не появится производная отличная от нуля f ⁽ⁿ⁾(х ₀) ≠ 0. При n чётном в точке х ₀ будет экстремум, а если n нечётное, то перегиб.