Производные и дифференциалы функции одной переменной

Производная функции

Пусть функция у = f (х) определена на отрезке [ a, b ]. Возьмем произвольное значение . Придадим первоначальному значению х приращение Δ х, положительное или отрицательное, но такое, чтобы точка . Найдем приращение функции Δ у, отвечающее приращению аргумента Δх,

Составим разностное отношение приращения функции Δ у к соответствующему приращению аргумента Δ х

При фиксированном х это отношение является функцией от ,

Определение. Если при существует предел отношения , то это предел называется производной от функции у = f (х) в данной точке х и обозначается или , или .

Таким образом, по определению

(7.1)

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Пример:

Найти производные следующих функций.

1. у = х ².

В любой точке х для любого Δх имеем

По формуле (7.1) получим откуда

Но . Следовательно, функция у = х ² имеет во всякой точке х производную у ΄ = 2 х, то есть (х ²)΄= 2 х.

2. у = е^х.

В любой точке х для любого Δ х имеем

Отсюда

Геометрический смысл производной

Пусть f (x) непрерывная функция на в некоторой окрестности точки х ₁. Рассмотрим две точки А (х ₁; f (х ₁) и В (х ₁+Δ х; f (х ₁+Δ х ₁) графика этой функции (рис.7.1), через которые проходит прямая, заданная уравнением

, (7.2)

где х и у координаты текущей (переменной) точки прямой АВ. Преобразовав уравнение (7.2), получим

(7.3)

Уравнение (7.3) является уравнением секущей АВ графика функции f (x), где (7.4)

– угловой коэффициент секущей АВ.

Точка В, двигаясь по графику функции f (x) к точке А, стремится к некоторому предельному положению – к касательной АТ. При этом касательная существует, если, как следует из уравнений (7.3) и (7.4), существует конечный предел

 

,

который называется угловым коэффициентом касательной к графику функции f(x) в точке А. Из уравнения (7.3) следует уравнение касательной к кривой f (x)

Прямая, перпендикулярная касательной к кривой f (x) в точке касания называется нормалью и имеет уравнение

Производные элементарных функций

1. (х ^α)΄ = α х ^{α –1}; 10. (sh x)΄ = ch x;

2. ; 11. (ch x)΄ = sh x;

3. ; 12. (th x)΄ = ;

4. (а^х)΄ = а^х ln a; 13. (cth x)΄ = ;

5. (е^х)' = e^х; 14. (сtg x)΄ = ;

6. ; 11. (arcsin x)΄ = ;

7. (sin x)΄ = cos x; 12. (arcсоs x)΄ = – ;

8. (cos x)΄= – sin x; 13. (arctg x)΄ = ;

9. (tg x)΄ = ; 14. (arcctg x)΄ = .

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины: С '= 0.

2. Производная аргумента: x '= 1.

3. Постоянный множитель перед функцией: (С u)´ = С u ´

4. Производная суммы (разности) функций u (х) и v (х):

(u ± v)´= u ´ ± v ´.

5. Производная произведения функций u (х) и v (х):

(uv)´= u ´ v + uv ´.

6. Производная частного функций u (х) и v (х):

7. Производная сложной функции f (z), если z = z (у), у = y (х):

(f { z [ у (х)]})' = f '(z)∙ z '(у)∙ y '(х).

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

8. Дифференцирование неявной функции F (x, у) = 0 проводится дифференцированием по х обеих частей уравнения и последующего решения его относительно y '(х).

9. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть дана функция y (х), где х и у функции параметра t, то есть

тогда

Примеры:

Найти производные от следующих функций:

1. у = sin³ x.

Решение: принимая sin x за u и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и формулами производных элементарных функций 1 и 7, получаем

у ′ = 3 sin² x (sin x)′ = 3 sin² x cos x.

2. y = ln(arctg x).

Решение: в данном случае u = arctgx. Принимая правило дифференцирования сложной функции и формулы 6 и 13, получаем

3. y = .

Решение: по правилу дифференцирования произведения получаем

При вычислении производной от принимаем u = . Применяя формулу 2 и правило дифференцирования сложной функции, получаем

Таким образом,

4.

Решение: по правилу дифференцирования частного получаем

или

5.

Решение: дифференцируем исходные равенства:

По правилу дифференцирования функций, заданных параметрически, получим