Какое максимальное число элементов содержит алгебра, построенная на конечном пространстве элементарных событий?

Алгебра, построенная на n элементарных событиях, имеет вид

F={W,Æ,A₁, Ā₁, …,A_n, Ā_n}, и содержит 2n+2 элементов..

37. Что такое -алгебра?

Множество, состоящее из подмножеств множества Ω, (не обязательно всех!) называется s- алгеброй событий, или, если выполнены следующие условия:

(A1) Ω Î Ψ (s -алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если AÎY, то ĀÎY (вместе с любым событием s -алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если А₁, А₂… Î Ψ, то

(вместе с любым конечным или счетным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).

Что такое измеримое пространство?

Если Ω – множество, а F – его σ – алгебра подмножеств, то пара (Ω, F) – измеримое пространство

Сформулировать аксиомы Колмогорова.

1. P(A)³0 - аксиома неотрицательности

2. P(W)=1 - аксиома нормированности

3. Если A₁,A₂,..,A_n – попарно несовм., то

– аксиома аддитивности

Что такое аксиома счётной аддитивности (расширенная аксиома сложения)?

Если {A₁,A₂,..,A_n,…}– счётное множество попарно несовместных событий, то

В чём смысл непротиворечивости и неполноты аксиом А.Н. Колмогорова?

Непротиворечивость заключается в том, что существуют реальные объекты, удовлетворяющие эти аксиомы.

Неполнота означает, что одному и тому же событию А можно приписать разную вероятность.

Что такое вероятностное пространство?

Совокупность объектов называется вероятностным пространством, которое полностью описывает случайный эксперимент.

Перечислить основные свойства вероятности.

Чему равна вероятность невозможного события? Доказать.

Так как W+Æ=W, WÆ=W,

то по третьей аксиоме Колмогорова P(W)+P(Æ)=P(W), т.е. P(Æ)=0

Чему равна вероятность противоположного события? Доказать.

Т.к. А+Ā =W и АĀ =Æ, то по третьей и второй аксиомам Колмогорова

P(A)+P(Ā)=1. Т.е. P(Ā)=1-P(A).

Чему равна вероятность суммы событий? Доказать.

На основании 3-й аксиомы Колмогорова:

1) A+B=A+(B-AB), A(B-AB)=Æ

Þ P(A+B)=P(A)+P(B-AB);

2) B=AB+ (B-AB), (AB)(B-AB)=Æ

Þ P(B)=P(AB)+P(B-AB).

Поэтому P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Является ли невозможным событие, вероятность которого равна нулю? Обосновать ответ.

Нет, такое событие не является невозможным. Пример: событие, состоящее в том, что нормально распределенная случайная величина примет некоторое конкретное значение.

48. Как определить вероятность события для конечного ПЭС?

P_{k -} вероятность исхода w_k,

I_A(w_k) - индикаторная функция:

49. Как определяется вероятность события для счётного ПЭС?

P_{k -} вероятность исхода w_k,

I_A(w_k) - индикаторная функция:

Могут ли элементарные события счётного ПЭС быть равновозможными? Обосновать ответ.

Нет. Исходя из определения равновозможных событий, они должны иметь равную вероятность, но так как у нас бесконечное число элементарных событий, и сумма их вероятностей должна равняться единице, то равновозможность означает, что вероятность каждого элементарного события равна нулю.

51. Как определяется вероятность события для несчётного ПЭС?

 

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ