Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Колеблющиеся вектора, колеблются в перпендикулярных векторах.

 

Получили уравнение эллипса, полуоси которого расположены под углом к осям координат.

.

По данной траектории колеблется конец вектора, являющийся суммой двух взаимно перпендикулярных рассматриваемых векторов. Конец этого вектора колеблется от начала координат на расстоянии .

.

Результирующее движения является гармоническим колебанием той же частоты.

.

.

Получили каноническое уравнение эллипса.

Применение комплексных чисел для записи гармонических колебаний. Векторные диаграммы.

.

Если длина этого вектора равна амплитуде колебаний, а угол – фазе, то проекция на – колеблющейся величине.

Комплексные числа можно записывать в тригонометрическом и показательном виде.

.

– комплексная амплитуда.

.

.

Когда одинаковы, тогда в любой момент времени соотношение между векторами будет всегда одинаково.

Затухающие колебания.

Пусть есть трение. В общем случае трение пропорционально скорости. Запишем второй закон Ньютона.

.

1)

.

Получили негармонические колебания с меньшей частотой.

Такие колебания называются затухающими колебаниями.

Найдем время, за которое амплитуда колебаний уменьшиться в раз.

.

– характерное время затухания.

Во сколько раз измениться амплитуда за период?

.

– декремент затухания.

– логарифмический декремент затухания.

– добротность системы.

Пусть есть диссипативные силы (силы трения) в общем случае пропорциональные скорости.

;

;

.

1) - рассмотрено раньше.

2) .

- т.е. функция.

Рассмотрим два вида начальных условий:

- ; (т.е. шарик на нитке или пружине только оттянули). Тогда .

- ; (т.е. шарику сообщили некоторую скорость). Тогда

Т.е. шарик отклонится и вернётся обратно.

3)

Вынужденные колебания.

Добавим вынуждающую силу, действующую на осциллятор.

;

;

.

Пусть . Рассмотрим случай, когда . Тогда

.

.

Тогда частное решение этого дифференциального уравнения выглядит так:

;

;

;

откуда: . Тогда

.

, где .

При , Это случай установившихся колебаний. Если долго ждать, то вид колебаний не будет зависеть от начальных условий

.

Пусть , откуда

;

;

.

возьмём действительную часть:

Резонанс.

Посмотрим как зависит амплитуда установившихся колебаний от частоты силы.

;

Найдём экстремум . Откуда - при такой имеет место быть экстремум. Т.к. он единственный что это максимум и амплитуда колебаний будет максимальна. определяется - самим осциллятором и вязкостью среды. Ситуация, когда амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума – резонанс.

.

1) , т.е. колебания станут нелинейными.

2) Чем вязкость меньше, тем график амплитуды пойдёт выше.

Найдём такую частоту, при которой . Предположим, что резонансная кривая симметрична и , т.е. затухание малое. Тогда

;

, но т.к. кривая узкая то , но

;

;

.

Т.о. для систем с малым затуханием выполняется соотношение .

- величина, на которую нужно отступить в право или в лево от резонанса, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза.

Величина, называется логарифмический декремент затухания

- добротность.

Найдем отношение высоты рез­­­­­­онансной кривой к :

Пусть максимум узкий, тогда

Добротность – это безразмерная величина.

Ее смысл: Если есть вынуждающая сила, то чем больше вязкость, тем меньше максимум. Добротность показывает во сколько раз можно увеличить по отношению к смещению постоянной силы. Чем больше добротность ,тем больше , чем меньше добротность , тем меньше .

Фазовые характеристики резонанса.

Установившиеся колебания повторяют действующую силу не точно, а отстают по фазе на величину .

Посмотрим, в каком случае .

- в разных точках кривой начальная фаза колебаний будет разной. зависит от затухания и свойства самого осциллятора . Построим график .

Три вспомогательные точки:

Чем больше частота , тем больше отставание маятника от силы.

При отставание стремится к половине периода.

Электрические колебания.

Соберем электрическую цепь.

Найдем уравнения, которые описывают заряд на конденсаторе .

будем работать в СИ. Считаем, что ток в данной системе квазистационарный, т.е в заданный момент времени токи во всех точках цепи одинаковые.

(1)

При записи выражения (1) считали, что катушка не деформируется и её индуктивность постоянна, а это значит, что .

Запишем выражение (1) в другом виде и сравним с уже известным уравнением . Эти уравнения имеют одинаковый вид. Поэтому, если в формулах, полученных для механических колебаний, заменим константы и , то они будут справедливы для уравнения .

.