Волны в газах и жидкостях. Волновое уравнение. Скорость звука.

Газ обладает упругостью. В твердом теле могут возникать нормальные и касательные напряжения, поэтому возможны волны продольные и поперечные.

В газах (жидкостях) нет касательных напряжений, и волны могут быть только продольные. Волны в газе (жидкости) представляют собой чередующиеся и распространяющиеся сжатия и разрежения.

Упругие продольные волны с частотой 20 – 20 000 Гц – звук, с частотой < 20 Гц – инфразвук, с частотой > 20 000 Гц – ультразвук.

Получим волновое уравнение.

Будем считать газ некоторой сплошной упругой средой с равновесными характеристиками: .

Важные свойства:

1) При относительном смещении разных слоев газа возникают сжатия и разряжения.

2) Процессы сжатия и разряжения сопровождаются изменением давления (при сжатии давление повышается, при разряжении - снижается).

Неравенство давления приводит к макроскопическому движению. .

В этом случае возникнет одномерная продольная волна. Сжатие и разряжение приводит к изменению давления, оно зависит от плотности и температуры. Если газ идеальный то

Буден считать, что давление будет однозначной функцией плотности. Основание: отклонение от положения равновесия мало, тогда:

Случай А. Процессы сжатия и разряжения происходят достаточно медленно, поэтому температуры в разных слоях газа успевают выравниться, тогда процесс сжатия и разряжения можно считать изотермическим.

Случай Б. Теплопроводность газа крайне мала, процессы сжатия и разряжения происходят достаточно быстро, поэтому эти процессы можно считать адиабатическими, и изменения температуры будет локальным и тоже зависит от плотности.

И в случае Б давление является однозначной функцией плотности.

Это два предельных случая, рассматриваемый нами случай находится между этими случаями.

Выберем некоторый цилиндрический объем.

Масса газа, находящегося в этом объеме, равна:

Конечно, происходит обмен веществом между объемом и окружающим пространством, но в среднем масса этого элемента остается постоянной.

Пусть происходит отклонение от равновесного положения, давление отклонилось от равновесного значения.

– смещение левой границы.

по сравнению с характерными размерами области сжатия и разряжения.

При этом предположении разница давлений слева и справа будет зависеть только от . Масса слоя не измениться.

– отклонение от равновесия в окрестности в заданный момент времени.

Случай А.

Случай Б.

Энергия упругой волны. Плотность энергии. Вектор Умова.

Плотность потока энергии.

Рассмотрим продольную волну в твердом теле.

Равновесные характеристики: .

– смещение.

– скорость смещения.

– относительная деформация.

- плотность кинетической энергии.

Растянутый стержень обладает упругой энергией:

- плотность энергии, локализованной в данном элементе:

Энергия может переноситься.

Найдем выражение для плотности потока энергии.

За время силы и совершают работу.

– плотность потока энергии.

– вектор Умова.

Стоячие волны.

Принцип суперпозиции: Если одно и тоже вещество колеблется одновременно по двум различным законам, то в итоге суммарное колебание будет равно сумме различных колебаний.

Пусть распространяются две волны в одной и той же среде:

.

Т.е. у них одинаковы модули но противоположны направления волновых скоростей. По принципу суперпозиции:

.

Построим изображение данной волны в некоторые моменты времени (сфотографируем волну).

Попробуем найти такие , что , это будут .

Фазовая скорость такой волны будет равна нулю. Выберем поверхность равной фазы в некотором , где или , но эти точки не подвижны.

Опр.: Такая волна, фазовая скорость которой равна нулю, называется стоячей.

Вопрос: Но ведь фазовая скорость определяется формулой , почему же она равна нулю?

Ответ: Это выражение справедливо для волн вида , а у нас другой вид волн, поэтому фазовую скорость мы находим по определению.

Упругие волны в среде.

Пусть у нас есть гитарная струна, мы возбуждаем в ней некоторые колебания (щипком или ударом). В струне возбуждаются волны.

Запишем для струны волновое уравнение.

Пусть выбран малый кусок струны (малый настолько, что его можно аппроксимировать куском прямой). Пусть струна однородна и её плотность равна . Запишем волновое уравнение как второй закон Ньютона. (т.к. в колебании нет переноса массы, то колебание идёт вдоль оси ).

.

На кусочек свободно колеблющейся струны действуют три силы: две со стороны других кусков и сила тяжести.

Если гитару положить плашмя на колени, то сила тяжести будет перпендикулярна колебаниям. - силы со стороны других кусков равны по модулю. Тогда:

,

,

где - длина колеблющегося кусочка струны. Пусть величина отклонения струны мала по сравнению с длиной всей струны. Тогда можно записать следующие выражения:

,

- дифференциал длины дуги, т.к. то мала и .

В силу того предположения имеем, что угол мал, откуда имеем:

.

Т.о. при подстановке имеем:

,

- уравнение движения кусочка струны, откуда .

Будем считать, что оба конца струны зафиксированы, т.е. .

Попробуем найти решения имеющие вид стоячих волн:

Подставим эти выражения в волновое уравнение, тогда:

,

откуда имеем

.

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Где - константы интегрирования. Найдем их из начальных условий:

.

Т.к. не равно нулю (т.к. тогда не будет никаких волн вообще), то имеем, что

.

Это означает, что не может быть каким угодно, а они существуют только при определённых дискретных .

Запишем различные колебания при различных :

.

Т.о. общий вид подобного частного решения:

,

т.к. сумма частных решений тоже решение, то просуммируем подобные решения и посмотрим, что получится.

Зададим некоторое Н.У. .

- сфотографировали при , это уравнение показывает начальное положение струны, её начальную форму.

- скорость по кусочка струны, показывает силу приложенную в начале.

Запишем начальные условия в следующем виде:

Где

Откуда

Т.е. зная найдём .

Волновое уравнение имеет бесконечное множество решений. Ранее нами было получено волновое уравнение для стоячей волны.

Пусть функция определяет форму струны в начальный момент времени. Итак, нам известны две функции

,

где - фазовая скорость. Нам необходимо найти и .

Умножим слева и справа (1) на и проинтегрируем от до .

В правой части суммирование и интегрирование идет по разным переменным, поэтому можно преобразовать выражение.

Все интегралы равны нулю кроме случая .

аналогично можно найти и .

Теперь, зная и , из системы можно легко найти и .

Пример: струну оттянули и отпустили, так что ее начальная форма имеет следующий вид:

, при .

Функции и - линейные, причем

,

,

.

Теперь вычислим Проинтегрировав по частям, получим . В нашем случае , , . Введем обозначения и рассмотрим несколько первых членов .

, , , , , , …

Теперь запишем общее решение:

Величины слагаемых убывают, как . Если струну оттянули слабо, то мало, и можно ограничиться первым слагаемым: .

Мы видим, что не зависит от . Это можно объяснить тем, что .

Электромагнитные волны.

Преобразуем уравнения Максвелла так, чтобы они приняли вид волнового уравнения. Запишем уравнения Максвелла в системе единиц СГСЕ

Рассмотрим случай, когда есть поле, но нет токов, и нет свободных зарядов. Пусть среда линейная и изотропная, тогда и уравнения Максвелла теперь выглядят так:

Учитывая, что

можно записать следующее соотношение:

Но с другой стороны

сравнивая эти два соотношения, видим, что .

Для вектора можно провести те же самые рассуждения .

Итак, у нас получилось, что в пространстве, где нет токов, и нет свободных зарядов, может существовать волновое поле, даже в вакууме, где .

Из полученных нами волновых уравнений для векторов и видно, что фазовая скорость электромагнитной волны равна . В вакууме фазовая скорость равна . Получается, что поле может существовать в виде электромагнитной волны, даже когда нет ничего.