Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии.

Разобьем поверхность отверстия на элементарные источники, площадь которых равна . Нужно составить комплексную амплитуду, пришедшую от в точку , где - разность хода лучей от и от центра отверстия. В прямоугольной системе координат разность хода лучей записывается следующим образом .

Перейдем в цилиндрическую систему координат :

.

Проинтегрируем комплексную амплитуду по всей площади отверстия: Сделав замену , получим следующий интеграл .

Функция называется функцией Бесселя нулевого порядка, - функцией Бесселя первого порядка.

Зависимость амплитуды колебаний в точке от ее положения на экране следующая .

Дифракционная картина будет имет­ь осевую симметрию и будет представлять собой чередование светлых и темных колец.

-угловой размер пятна, видимый из отверстия.

Соответствующий расчет дает, что границы первого темного кольца отстают от центра дифракционной картины на угловые расстояния и .

Дифракция на круглом отверстии очень заметна при работе с оптическими инструментами.

Дифракция на круглом отверстии определяет степень параллельности лазерного пучка.

Пример: Ночью по плоской степи едет машина. Оценить на каком расстоянии человек сможет различить две фары?

Пусть L – расстояние между фарами, D - расстояние между машиной и человеком.

Две фары видны в том случае, когда максимум интенсивности от первой фары приходится на минимум интенсивности от второй фары (условие Релея). Иначе это условие видимости можно записать следующим образом или .

Пусть

, тогда .

Дифракционная решетка.

Дифракционная решетка – это спектральный прибор для изучения спектрального состава света. Она представляет собой совокупность большого числа параллельных щелей в непрозрачном экране или отражающих полосок (штрихов), расположенных параллельно друг другу на одинаковом расстоянии.

- ширина одной щели;

- расстояние между центрами щелей – период решетки (число штрихов на 1 мм);

- общее число щелей.

Пусть падающая волна монохроматическая, и ее падение нормальное. Положение точки наблюдения на экране описывается углом дифракции . Чтобы рассчитать интенсивность в точке , надо просуммировать интенсивности от всех щелей.

Комплексная амплитуда от 1-ой щели, в предположении, что фаза колебаний от центра 1-ой щели в точке равна нулю, запишется так , где .

Если за начало отсчета фазы взять фазу колебаний, приходящую от центра 1-ой щели в точку , то амплитуда от n-ой щели запишется так , где .

Полная амплитуда: .

,

.

Здесь , Согласно формулам Эйлера .

- фазовый множитель,

- щелевой параметр (щелевой фактор),

- решетчатый фактор.

Зависимость интенсивности в точке от ее расположения следующая

Посчитаем интенсивность в центре, для этого раскроем неопределенность вида по правилу Лапиталя .

Интенсивность равна нулю, когда щелевой множитель равен нулю

.

Побочные минимумы возникают, когда решетчатый фактор равен нулю

.

Условие главных максимумов: .

Между двумя главными максимумами существуют очень маленькие побочные максимумы. Между главными максимумами их

Для одной щели:

.

Щелевой график.

Нулевой максимум: .

Пусть .

Нули функции .

Побочных максимумов – .

С увеличением главные максимумы растут, и побочных становится все больше и больше, их ширина становиться все уже и уже, высота все меньше и меньше.

Дифракционную решетку можно сделать и так.

Чем шире щель, тем уже график, чем уже щель, тем шире график.