Немонохроматические волны. Дисперсия. Групповая скорость.

1) периодическая, но другая волна

Дискретный спектр.

2) не периодическая функция

Непрерывный спектр.

Дисперсия – зависимость фазовой скорости волны от частоты.

Любой сигнал можно разложить в ряд Фурье. Он будет состоять из монохроматических волн. Дисперсия приводит к искажению монохроматической волны.

Пусть волна немонохроматическая, представляет собой сумму близких гармоник.

Фотография волны.

Фазовые скорости разные, следовательно, возникает разность фаз, картина искажается, разность фаз будет нарастать до , и волна восстановиться и так далее.

Пусть фазовая скорость волны в среде зависит от длины волны, т.е. получили диспергирующую среду.

Т.о. если у нас есть сумма двух волн, то у них будут разные фазовые скорости, и во времени волны будут смещаться по фазе относительно друг друга. Но через определенные промежутки времени, набежит разность фаз кратная , и тогда всё повторится.

Рассмотрим процесс распространения максимумов и минимумов в пространстве.

Пусть есть 2 волны с близкими частотами, тогда

.

Будем следить за фазой максимума, т.е. когда , т.е.

.

- положение фазы волны, при котором колебание имеет абсолютный максимум, тогда величина имеет смысл некоторой скорости, и эта величина называется групповой скоростью

.

Рассмотрим некоторую моделируемую волну, состоящую из суперпозиции многих волн.

Рассмотрим некоторый ряд Фурье. Рассмотрим много волн с конечными интервалами частот.

Если у рассматриваемой моделированной волны есть резкий пик, то при разложении в ряд Фурье получаем несколько пиков на графике . Если наоборот некий долгий звук, то как правило на графике один или несколько частот.

.

Избавляясь от начальной фазы введением комплексной амплитуды . Тогда

.

Чтобы взять интеграл разложим в ряд вблизи :

.

Ограничимся в разложении линейной составляющей. Тогда:

.

Так можно сделать только если или - очень мала, т.е. узкий пик. Тогда:

.

Введём обозначение . Тогда:

.

и - числа, а интегрирование идёт по , то есть можно выполнить следующее преобразование:

.Т.о. чтобы найти групповую скорость нужно проследить за максимумом модуляционной части, а она максимальна, когда показатель экспоненты равен нулю, т.е.

,

откуда (т.к. при )

,

- скорость с которой бежит модуляционная часть.

Так определить групповую скорость можно только при малости пика или линейности .

Пусть при имеем . Откуда

.

, где - длина волны, . Тогда

.

Вектор Умова-Поинтинга.

Вектор Умова характеризует перенос энергии в упругой волне, постараемся ввести аналог для электромагнитной волны.

Рассмотрим кусок среды (магнетик, диэлектрик и проводник, но не ферромагнетик). Пусть течёт ток с некоторой плотностью тока , меняется индукция и магнитное поле: т.е. .

Пусть также кусочек мал настолько, что нигде нет зависимоти от координат.

Найдём работу при изменении тока, поляризованности, намагниченности и т.д.

.

Где - это некоторая работа (пишем - т.к. это функция процесса, а не состояния), - индукция внешнего поля, - поле в образце.

Пусть эта работа совершается за время , перейдём к мощности.

.

.

.

.

.

.

.

Но . Откуда:

.

Но т.к. все рассмотренные силы – внутренние для рассмотренного кусочка, то

.

- плотность потока энергии электромагнитного поля. Данное выражение справедливо всегда, т.к. был рассмотрен общий случай.

В плоской электромагнитной волне и , т.е. они образуют правую тройку векторов.