Обратная задача теории погрешности.

Какими должны быть абсолютные или относительные погрешности аргументов функций, чтобы ее абсолютная или относительная погрешность не превышала какой-то заданной величины.

Пусть непрерывно дифференцируема в области и точка вместе параллелепипедом

С какой точностью следует взять приближение аргументов , чтобы приближение функции удовлетворяло:

Существуют различные подходы к решению этой задачи. Один из них называется принципом равных влияний. Он заключается в следующем:

- предполагается, что погрешности всех аргументов вносят одинаковые доли в погрешность функции, т.е. что все частные дифференциалы равны между собой по модулю.

В этом случае

Иногда при решении обратной задачи предполагают, что погрешности всех аргументов равны

Пример:

С каким числом десятичных знаков следует представить дроби, чтобы сумма их была найдена с точностью до 0,001.

С какой погрешностью нужно взять аргументы , чтобы

Поскольку нам необходимо с недостатком, поэтому мы имеем дело с величиной следовательно для достижения цели задачи необходимо в аргументах функции оставлять 4 цифры после запятой.

 

Метод границ

Существуют различные способы оценки точности приближ. знач.:

1) метод строгого учета погрешн.

2)приближ. вычисл. без учета погрешн.

3)метод границ

Метод границ позволяет установить границы в кот. закл. знач. выполняемое по ф-ле, если известны границы парам., входящих в эту же ф-лу. Пусть Х-нек. число, нижняя граница НГх, верх. граница Х ВГх, НГх≤х≤ ВГх, НГy≤х≤ ВГy справедлива теор. 1:

Теорема 1

Сумма нижн. границ слаг. явл. нижн. границей суммы слаг. Сумма верх. границ слаг. явл. верх. границей суммы слаг.

Теорема 2

НГх-у= НГх- ВГy, ВГх-у= ВГх- НГy.

Док-во:

НГх- НГy≤х-у≤ ВГх- ВГy т.о.

НГх-у =НГх- НГy

ВГх-у = ВГх- ВГy

Пример

5.7≤х≤8.4 9≤х+у≤13.8

3.3≤у≤5.4 0.3≤х-у≤5.1

Теорема 3: Если нижние границы сомнож. неотриц., то справедливо след.: НГх* НГy≤ху≤ ВГх* ВГy.

Теорема 4: Если нижн. Граница х неотриц. и n-целое полож. число, то нижн. граница =( =(

Теорема 5: Если нижн. границах неотриц., то = и =

Теорема 6: Если нижняя граница делителя полож., то ≤ ≤ . Док-во: ≤ ≤

Пример: Найти А=

2.57≤х≤2.58;1.45≤у≤1.46;8.33≤z≤8.34 (табл.).

8. Математические модели и численные методы.Вспомогательные сведения из математического анализа. Метод оптимального исключения решения СЛАУ.

Бол-во физ. задач решаются при помощи мат. Знаков один из методов решения таких задач-это эксперимент.Второй-матем. исследование физ. Явления.Такое исслдед. применяется не к реал. Физ. процессу, а к его мат. модели.первая стадия при решении задачи – это постановка задачи или формул- мат. модели.2-ая задача – матем. Модели в завис. От её применения.Числ. методы делятся на:

- точные(дают решение задачи через конечное число арифм. Действий причём, если

исх. данные известны точно и вычисл. производ. без округл., то и вычисл. произв. точно-м. Гауса,Крамера и процесс ортогонализации)

- приближённые или итерационные методы (дают бескон. послед. приближенный, предел кот. если он Э явл. решением задачи – метод простой итерации, метод касат. реш.ур-ний и сист. ур-ний метод секущих, метод Зейделя.

Мн-во х произв.эл-ов наз. метрическим пр-вам, если любым эл-ам х,у став. в соотв. (х,у) наз.расст.между х,у (метрикой) удовл.след.условиям:

1) (х,у) 0 и (х,у)=0 если х=у

2) (х,у)= (у,х)

3) (х,z)

Послед. {хn cх}наз.сходящейся если к х* х если метрика между {хn,xm}

Метр.пр-во в коп. всякая фунд.послед.сходится наз.полным.

Пусть х,у-метр.пр-ва,отображение f:х Y наз.оператором заданное в х со знач.у,то f-отображ.метрич.пр-во на себя.Если f(х)=х,где х х,то х-неподвиж.точка отображ. f. Метод оптимального исключения по существу является вариацией метода Гаусса. Идея этого метода состоит в том, что последовательным исключением неизвестных матрица системы приводится к диагональному виду. Возможность же таких эквивалентных преобразований следует из теоремы о приведении матрицы к диагональному виду.

Теорема. Для любой квадратной вещественной матрицы А л-го порядка существуют такие квадратные вещественные матрицы и и v (п-го порядка), что матрица UAV - диагональная. (см. с. 29).