Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть ф-ция y=f(x) задана табл. Значений для конечного множества Х

Такая таблица м.б. построена в рез-те наблюдений некоторого процесса, если же необходимо найти значение ф-ии f(x) для некоторого промежуточного значения аргумента, то строит ф-ию φ(х), достачно простую для вычислений, кот. в заданных точках х0, х1.. хn принимают значение f(x0)… f(xn), а в остальых точках некотрого отрезка [a,b] функция φ(х) с той или иной степенью точности только приближает f(x). Отрезок [a,b] принадлежит области определения f(x). И в дальней шем при решении задач вместо f(x) будет использоваться φ(х).

Задача построения такой функции φ(х) наз. задачей интерполирования, а функция φ(х) наз интерполяционной. Чаще всего в качестве интерпол-ной функции берут алг-ий многочлен n-ой степени. К интерполированию прибегают и тогда, когда фун-ция f(x) задана аналитическим выражением с помощью которой можно вычислить ф-цию f(x) в любой точке отрезка из области определения f(x). Но вычисление f(x) м.б. соприжено с большим объёмом вычислительных работ. Если же нужно вычислить ф-цию f(x) для большого кол-ва значений аргументов, то тоже прибегают к интерполированию, т.е. вычисляют f(x) в нескольких точках: f(xi), i= . Далее по этим значниям строят φ(х), а остальные значения функции f(x) уже находятся в с помощью φ(х), кот проста для вычислений. В дальнейшем в качестве такой функции φ(х) мы будем брать алг-ий. многочлен n-ой степени. В этом случае интерполирование будет наз-ся алгебраическим: , причем f(xi)=Pn(Xi), i= . А в остальных точках отрезка [a,b] . В дальнейшем обозначаем через Rn(x) разницу f(x) – Pn(x), где Rn(x) – ошибка от замены функции многочленом . Или же наз остаточным членом интерполирования, (погрешность метода).

Двух различных интерполяционных многочленов степени n для ф-ции f(x) сущ-ть не может, т.е для f(x) сущ-ет единственный интерполяционный многочлен n-ой степени.

Интерполяционный многочлен Лагранжа: Требуется построить интерпол. Многочлен в степени n для ф-ии f(x), кот в точках x0, x1… xn (в узлах интерполяции) прин. Знач. y0, y1… yn. Для построения используем фундаментальный многочлен Qn(x):

Тогда . Легко увидеть что

являются корянми фундаментального многочлена (x). Т.о. , где с- максимальный определитель из условия:

Тогда (2)

Фундаментальные многочлены – n-ой степени значит и сам многочлен - тоже n-ой степени. (3)

Имеем (2) - Интерполяционный многочлен Лагранжа. (1) – коэф. Лагранжа. (3) - Интерпол-ная формула Лагранжа. формулы 1-3 можно записать компактно, если воспользоваться след обозначениями: ; . Тогда в точке

Справедливо записать: ; :

многочлен совпадает с в точках , i= , а в остальных точках отрезка [a,b] . Справедлива теорема (для оценки остаточного члена): если в промежутке [a,b] имеет непрерывные производные до (n+1) порядка включает, то остаточный член интерполяции