Численное интегрирование. Квадратурные формулы прямоугольников. Правило Рунге выбора шага интегрирования.

Метод пр-ов основан на опр-ии самого интеграла и егогеометрического значения. Пусть ,

Формула левых пр-ов:

Формула правых пр-ов:

Абсолютная погрешность МЛП и МПП: . Погрешность –

Формула средних пр-ов: огрешность –

Правило Рунге на примере формулы Симпсона. Пусть -приближенное значениеинтеграла, вычесленное шагом h.

Уменишение на шаг h в 2 раза, разбив отрезок [a,b] на [a,c] и [c,b], т.е. .

Предположим, что ф-ция меняется не слишком быстро, т.е. . Тогда и

Следовательно, .

Вывод:

требуемая точность. Тогда шаг h подходит для вычисления интегралов с достаточной точностью. Если получилось, что , то расчет повторяют шагом и затем сравнивают значения интегралов – это правило Рунге.

28. В курсе ДУ узуч-ся м-ды реш-ия простейших видов этих ур-ий. Ду, к/ые м. реш. т\ми м-дами встреч редко ⟹приобретает важное знач-е приближенное реш-ие ДУ. Их 2 класса: аналит (дают реш-е в виде аналит выражения) и численные (в виде таблицы численных значений) м-ды. Пусть надо решить ДУ на [ ].
задача Коши и пусть выполняются условия: 1) ф-ция сколь угодно раз дифф-ма по x,y (облад нужной жадностью); 2) ф-ция y(x) им нужное число производных тогда м. применить м-д степенных рядов решения ДУ.

М-д степенных рядов: разложим y(x) в ряд Тейлора в т. : y(x)=y()+ где h=x- , , . Вкач-ве приближ знач ДУ возьмем ф-цию получ путем подстановки в ряд Тейлора. Замеч: для знач x близких к м-д степенных рядов для достаточно больших m дает достаточно хорошее приближ к точному реш-ю y(x) к задаче *. Но если величина велика, то величина тоже большая. М-д степ рядов становиться непригодным, когда x выходит из обл. сходимости ряда Тейлора.

М-д Пикара: позволяет получать в аналит виде послед приближений. , . Этот м-д редко исп., т.к. есть недостаток: каждый шаг требует вычислений интеграла.

М-д Эйлера: будем реш задачу Коши для ДУ 1-го порядка. . Заменим 1 и 2 на .

1) Предположим, что ф-ция f(x) непрер по переем на отрезке на замкнут обл Д.

2) Относ для ф-ции выполн усл Липшица

М-д Эйлера сост в замене производной разностью отношений тогда на отр [ ]: . . Пусть Т.о. обыкновенный м-д Эйлера им. вид: , где Выч-ие знач по м-ду Эйлера дает менее грубое приближение к задаче Коши. Поэтому м-д Эйлера исп-ся тогда, когда надо приближ представление о решении на небольшом отрезке. Если ф-ция f(x,y) из 1 непрерывна по x на отрезке (a,b) из обл. Д и удовлет. усл. Липшица по y. Если известно , то м. записать оценку погрешн.: .

Рассмотр его модификации:

Модиф-ый м-д Эйлера: ; М-д Эйлера –Коши: ;

«+»: прпостота; малый объем вычислений; наглядность. «–»: малая точность; работает для небольших интервалов.

Более точным м-дом реш-я ДУ 1 порядка – м-д Рунге–Кутта: ;

М-д Р-К облад повыш точностью, но работа по нему очень трудоемкая. «–»: нет действенного контроля. Обычно контроль осущ-ся так: сначала проводят счет с шагом h, 2 h и получ рез-ты сравнивают. Если при этом модуль разности не превосходит заданной величины погреш-ти то счет продолж с шагом h, иначе шаг уменьш вдвое.

29. Стандарт ЗЛП состоит в: найти наибольш неотриц решение сис-ы (m–линейных нер-в с n–переменными), при к/ом линейная форма f=cx принимает max(min) знач. Всякое неотриц реш-е сис-ы наз допустимым. Оно наз оптимальным, если она максимиз-ет (минимиз-ет) линейную форму f=cx.

Сис-а вида наз сис-ой ограничений для ЗЛП. Если в кач-ве этой сис-ы выступает СЛУ то ЗЛП наз канонической. От стандарт ЗЛП м. перейти к канонической. Запишем в виде: и добавим к кажд. т/ой строке так чтобы получ: . Тогда вместо получ Ax+Ez=b, где Z=(). Последняя запись уже СЛУ, т.е. получ канонич ЗЛП.

М. осуществить обратный переход: Ax=b. , а это стандарт. ЗЛП.

Примеры ЗЛП: транспорт. задача: m–число складов; n–число магазинов; –число ед-ц товара, выделенных i-ым кладовщиком; –число ед-ц товара, необход j-му магазину; –число ед-ц товара перевоз с i-го склада в j-ый магазин; –стоимость перевозки одной ед-цы товара с i-го склада в j-ый магазин. Найти min линейной формулы (транспортной издержки) при след–их огранич: , i= ; j= . ; .

Задача планир–ия произ–ва: m–число ресурсов; n–число товаров; –число ед-ц i-го ресурса, необход для пр-ва ед-цы j-го товара; –число ед-ц i-го ресурса; – доходы от ед-цы j-го товара; – запланир ур-нь пр-ва j-го товара. Найти max линейной формулы при ограничениях: