Интерполяционные многочлены Ньютона.

Интерполяц-ый многочлен Лагранжа, кот. м. построить при любом расположении узлов интерполяции облад. Одним существенным недостатком. Если понадобится увелич ч-ло узлов (след и степень многочлена), то в эт случае мн-н Лагр придётся выч занов, т к кажд его член зависит от узлов интерполирования. Указанным недостатком не обладает интерполяц мн-н Ньютона. Пусть дана ф-ция: y=f(x), причём Из 1-ой разд-ой разности получим Поскольку разделённая разность Т о на n-ом шаге мы получим след: (1) или где (2)

Полагая в (1) получим: След мн-н 2 – интерполяц мн-н д/ ф-ции y=f(x), построенной по n+1 узлам: мн-н 2 называют интерпол-ым мн-ом Ньютона, подставляя его в общую интерполяц-ую ф-лу, получим: В случае равноотстоящих узлов интерполяции: , h-шаг. Из интерпол-ой ф-лы Ньютона с учётом равенств: Ф-ла (3) получила назв-ие интерполяционная ф-ла Ньютона «интерполирование вперёд». «инт-ие вперёд» объясн-ся тем, что ф-ла сод-ит заданное знач. Ф-ции, соотв-ее узлам интерполяции, находящимся только вправо от узла X0. Ф-ла (3) удобна при интерполир-ии ф-ций д/ знач x, близких к наименьшему узлу x0. Пусть x=x0+ht,тогда Тогда ф-ла (2) имеет вид: (4)

Остаточный член д/ полинома (4) имеет вид: Абсолютная погрешность мет по ф-ле Ньютона «интерпол-ие вперёд» определ нерав-ом: [a,b] Интерполяц-ую ф-лу Ньютона (*) т/же м записать: В случае равноотстоящих узлов из посл ф-лы аналогично ф-ле Ньютона «и в» м получить ф-лу Н. «инт-ие назад». ф-лу Н. «инт-ие назад» используют при интерпол-ии ф-ции в т-ах x, близких к наиб узлу xn-ое. Абс погрешность метода «интерп. назад» определ-ся ф-ой:

Численное дифференцирование. Некоторые частные формулы вычисления производных.

Численное дифференцирование применяется если:

1 функция задана таблично

2 функция задана неудобным для дифференцирования аналитическим выражением

Задача численного дифференцирования некорректна – нарушается условие 3 корректности, т.е. нарушается условие непрерывной зависимости решения от входных данных. При численном дифференцировании функцию f(x) заменяют интерполяционным многочленом (x) и считают, что (x) = (x).

близость значений ф-ции f(x) и многочлена (x) не гарантируют близости их угловых коэффициентов и , т.е. близости производных:

f(x)≈ (x)

()=tg

()=tg

Пусть на [a,b] рассматривается ф-ция f(x), которая имеет непрерывную производную до (n+1) порядка. Возьмем на [a,b] (n+1) различных узлов , , …, и будем считать, что они расположены в порядке возрастания < <…< .

Пусть f() – значение ф-ции y=f(x) в этих узлах , i= . По этим значениям построим интерполяционный многочлен (x), который будет совпадать с ф-ей f(x) в узлах интерполирования, т.е. ()=f(), i= . Отсюда f(x)= (x)+ (x), где (x) – погрешность интерполяции. Вычислим производную от ф-ции f(x) порядка m. Получим и в качестве . будет являться погрешностью численного дифференцирования.

Пользоваться формулой целесообразно тогда, когда m≤n, т.к. при n>m =0. Для погрешности справедлива формула: . =(x- )(x- )…(x- ). [ ], где [ ] – наименьший отрезок содержащий точки , , x.