Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности.

Пусть ф-ция y=f(x) задана табл. Значений для конечного множества Х

Такая таблица м.б. построена в рез-те наблюдений некоторого процесса, если же необходимо найти значение ф-ии f(x) для некоторого промежуточного значения аргумента, то строит ф-ию φ(х), достачно простую для вычислений, кот. в заданных точках х0, х1.. хn принимают значение f(x0)… f(xn), а в остальых точках некотрого отрезка [a,b] функция φ(х) с той или иной степенью точности только приближает f(x). Отрезок [a,b] принадлежит области определения f(x). И в дальней шем при решении задач вместо f(x) будет использоваться φ(х).

Задача построения такой функции φ(х) наз. задачей интерполирования, а функция φ(х) наз интерполяционной. Чаще всего в качестве интерпол-ной функции берут алг-ий многочлен n-ой степени. К интерполированию прибегают и тогда, когда фун-ция f(x) задана аналитическим выражением с помощью которой можно вычислить ф-цию f(x) в любой точке отрезка из области определения f(x). Но вычисление f(x) м.б. соприжено с большим объёмом вычислительных работ. Если же нужно вычислить ф-цию f(x) для большого кол-ва значений аргументов, то тоже прибегают к интерполированию, т.е. вычисляют f(x) в нескольких точках: f(xi), i= . Далее по этим значниям строят φ(х), а остальные значения функции f(x) уже находятся в с помощью φ(х), кот проста для вычислений. В дальнейшем в качестве такой функции φ(х) мы будем брать алг-ий. многочлен n-ой степени. В этом случае интерполирование будет наз-ся алгебраическим: , причем f(xi)=Pn(Xi), i= . А в остальных точках отрезка [a,b] . В дальнейшем обозначаем через Rn(x) разницу f(x) – Pn(x), где Rn(x) – ошибка от замены функции многочленом . Или же наз остаточным членом интерполирования, (погрешность метода).

Двух различных интерполяционных многочленов степени n для ф-ции f(x) сущ-ть не может, т.е для f(x) сущ-ет единственный интерполяционный многочлен n-ой степени.

Конечные разности. Разделённые разности.

Пусть , i=0,1,2…. Тогда разности наз. конечными разностями 1-го порядка. , ,

Конечные разности 2-го порядка получ. по форм-ам: Аналогично получаются конечные разности (n+1)порядка. Для нахождения конечных разностей удобно пользоваться таб:

X	Y	△Y
X1   X2   X3   X4 …	Y1   Y2   Y3   Y4 …	△Y1   △Y2   △Y3			…

Св-ва конечных разностей:

1. Конечные разности суммы (разности) ф-ции равны сумме (разности) конечных разностей этих ф-ций.

2. при умнож. Ф-ции на пост. Множитель конечные разности тоже умнож-ся на этот множитель.

3. кон. Разн. N-го порядка от многочленов n-ой степени постоянны, а конечные разности N+1-го порядка =0.

Разделённые разности 1-го пор. Опред-ся ф-ами: …

Тогда разделённые разности второго порядка запишутся: ,

Раздел. Разн. 3-го порядка будут: Т.о. опираясь на разделённые разности (n+1) пор., мы получим разд. Разности n-го пор.

Рассм. Случай равноотстоящих узлов: , h-шаг. Тогда ; ;

; ; т.о.

Мы установили связь м/д конечными и разделёнными разностями.