Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.

Алгебраическую сумму токов называют полным током.

Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Например, согласно рис.1.8:

Магнитное поле соленоида

Используя закон полного тока, определим напряженность магнитного поля внутри соленоида длиной ℓ. Согласно выражению

(1.21) имеем Hℓ = NI, откуда

(1.22)

Индукция магнитного поля внутри соленоида определяется по формуле:

(1.23)

где n = N/ℓ - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида (плотность витков).

По формуле (1.22) можно рассчитать напряженность магнитного поля тороида

(ℓ = 2πr –длина средней линии тороида):

. (1.24)

Индукция магнитного поля тороида:

, (1.25)

где N – число витков тороида; r – радиус средней линии тороида.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение магнитного поля?

2. Что является силовой характеристикой магнитного поля?

3. Как связаны между собой напряженность и индукция магнитного поля?

4. Как графически изображается магнитное поле?

5. Сформулируйте и запишите математическое выражение закона Био – Савара – Лапласа.

6. По какому правилу определяется направление вектора магнитной индукции (напряженности) элемента тока?

7. Назовите единицы напряженности и индукции магнитного поля.

8. Сформулируйте и поясните принцип суперпозиции магнитных полей.

9. По какой формуле рассчитывается индукция (напряженность) магнитного поля, созданного:

- проводником с током конечной длины;

- бесконечно длинным проводником с током;

- круговым витком с током в его центре и в произвольной точке на его оси?

10. Сформулируйте, запишите выражение и поясните закон полного тока (теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля).

11. Запишите выражение индукции (напряженности) магнитного поля соленоида, тороида

Примеры решения задач

Задача 1. Определить индукцию магнитного поля , созданного отрезком бесконечно длинного прямого проводника с током, в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии 20 см от его середины. Сила тока, текущего по проводнику, I = 30 А, длина отрезка ℓ = 60 см.

Дано: Решение.

I = 30 АКаждый элемент тока() в данном случае

создаёт индукцию направленную в точке

ℓ =60 см = 0,6 м А (см. рис.1.9) перпендикулярно плоскости

чертежа (к нам).

= 20 см = 0,2 м Все элементы индукции направлены в

_______________ точке А одинаково, поэтому геометрическую

сумму всех векторов в точке А можно

-? заменить арифметической, т.е. .

Рис.1.9

 

Запишем закон Био – Савара – Лапласа:

. (1.26)

Преобразуем dB так, чтобы можно было взять интеграл по α, выразив и r через .

Из рис. 1.9 видно, что: , ,

где r – величина переменная, зависящая от угла α. Подставив r в формулу (1.26), получим

. (1.27)

Проинтегрируем выражение (1.27) в пределах от до :

;

,

где - угол между направлением начального элемента тока () и направлением радиус – вектора , проведённого от элемента тока к данной точке (угол острый); - угол между направлением конечного элемента тока () и направлением радиус–вектора от элемента тока до данной точки (угол тупой).

Из риc. 1.9 следует, что

;

.

Тогда .

Вычислим В, подставив числовые значения:

(Тл).

Ответ: Тл.

 

Задача 2. По двум длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии d =10 см друг от друга в воздухе, текут токи силой I = 15 А каждый. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками, для следующих случаев: 1)проводники параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 1.10 а); 2)проводники параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 1.10 б); 3)проводники взаимно перпендикулярны, направления токов указаны на рис. 1.10 в.

Дано: Решение.

d = 10 см = 0,1 м

I = 15 А

r = r = = 5 м

___________________

В -?

 

а)

 

б)

 

в)

Рис. 1.10 а), б), в)

Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: , где - индукция поля, создаваемого током ; - индукция поля, создаваемого током I . Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

(1.28)

При этом слагаемые B ₁и B ₂должны быть взяты с соответствующими знаками. В данной задаче во всех трёх случаях абсолютные значения индукций B ₁и B ₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводников, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

, (1.29)

где r = r = r ; ; = 1. Подставив числовые значения величин в формулу (1.29), найдём модули B ₁и B ₂:

мкТл.

1-й случай. Векторы и направлены по одной прямой (рис.1.10 а), следовательно, результирующая индукция определяется по формуле (1.28). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем: =60 мкТл, = -60 мкТл. Подставив в формулу (1.28) эти значения B ₁и B ₂ получим

2-й случай. Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону (рис.1.10 б). Подставив в формулу (1.28) значения B ₁и B ₂, получим

(мкТл).

3-й случай. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей на одинаковом расстоянии от проводников, взаимно перпендикулярны (рис.1.10 в). Результирующая индукция по абсолютному значению и направлению является диагональю квадрата, построенного на векторах и . По теореме Пифагора найдём

(1.30)

Подставив в формулу (1.30) значения B ₁и B ₂ и вычислив, получим

В = 84,6 (мкТл).

Ответ: 1) В = 0; 2) В = 120 мкТл; 3) В = 84,6 мкТл.

Задача 3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи I ₁ = 70 А и I ₂ = 50 А в одном направлении. Определить магнитную индукцию В в точке, удалённой на расстояние = 10 см от первого и на расстояние = 20 см от второго проводника.

Дано: Решение. см = 0,15 м

А

А

см = 0,1 м

см = 0,2 м

_________________ D

В -? C

Рис.1.11

Для того, чтобы найти магнитную индукцию в указанной точке А (рис.1.11), определим направления векторов индукций и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности в точке А. , , т.к. и - радиусы силовых линий (от токов и ), проведенные в точку касания, а и являются касательными к силовым линиям. На рис.1.11 токи и перпендикулярны плоскости чертежа и идут «к нам».

По принципу суперпозиции . Векторы и сложим по правилу параллелограмма, диагональ которого является результирующим вектором . Модуль вектора найдём по теореме косинусов:

(1.31)

где α – угол между векторами и .

Значения индукций B ₁и B ₂ полей, созданных прямыми бесконечно длинными проводниками с токами и определяются по формулам:

; , (1.32)

где , - кратчайшие расстояния от токов I₁, I₂ соответственно до точки, в которой определяется магнитная индукция В. Подставим (1.32) в (1.31):

. (1.33)

На рис.1.11 углы равны, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому соs найдем из треугольника АDС по теореме косинусов , отсюда

cos .

Вычислим соs : cos

Определим индукцию В, подставив числовые значения в формулу (1.33):

= 178 (мкТл).

 

Ответ: В = 178 мкТл.

 

Задача 4. По длинному прямому проводнику, согнутому под прямым углом, течет ток I = 5A. Найти магнитную индукцию B в точке, лежащей на биссектрисе угла и, отстоящей от вершины угла на расстояние а = 10 см (рис.1.12).

 

A

 

Рис. 1.12

 

 

Дано: Решение.

Изобразим силовые линии индукции

магнитного поля для каждого отрезка провод-

а = 10 см = 0,1 м ника. Линии должны проходить через задан-

ную точку, лежать в плоскости, перпендику-

лярной току, и иметь центр на оси проводни-

В -? с током (рис. 1.12). Направление линий индукции определим по правилу правого винта. Касательные к силовым линиям в данной точке перпендикулярны плоскости чертежа и векторы и направлены «к нам».

Согласно принципу суперпозиции т.к. и направлены в одну сторону по одной прямой, то .

- индукция от вертикальной части провода; ˚, т.к. проводник в нижней части ограничен вершиной угла, а в верхней части бесконечен.

- индукция от горизонтальной части провода, ˚, , т.к. провод ограничен вершиной угла слева и бесконечен справа

- кратчайшее расстояние от вертикального и горизонтального проводов до данной точки А, находящейся на биссектрисе угла.

.

Подставим в данную формулу числовые значения и вычислим магнитную индукцию:

 

(Тл).

Ответ: Тл.

Задача 5. По двум одинаковым круговым виткам радиусом R = 5 см, плоскости которых взаимно перпендикулярны, а центры совпадают, текут одинаковые токи силой I = 2 А (рис.1.13). Найти индукцию магнитного поля в центре витков.

 

Дано: Решение.

 

R = 5 см = 5·10 м

= I = 2 A

_________________

В -?

 

Рис. 1.13

 

Индукцию магнитного поля, созданного каждым круговым витком в центре соответствующего витка, находим по формуле:

 

(1.34)

 

По правилу буравчика для выбранных направлений токов в витках вектор направлен от нас, а вектор направлен вправо

(см. рис. 1.13). По принципу суперпозиции результирующая индукция магнитного поля: = .

Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора из соответствующего прямоугольного треугольника находим

. (1.35)

Подставив выражение (1.34) в (1.35), получим:

.

Вычислим: = 35,4 (мкТл).

 

Ответ: В = 35,4 мкТл.

 

Задача 6. Требуется изготовить соленоид длиной L = 20 см и диаметром D = 5 см, создающий на своей оси магнитную индукцию B = 1,26 мТл. Найти разность потенциалов U, которую надо приложить к концам обмотки соленоида. Для обмотки применяют проволоку диаметром d = 0,5 мм. Удельное сопротивление меди ρ = 1,7 ∙ 10^-8 Ом·м.

Дано: Решение

D = 5 см = 5 Разность потенциалов на концах обмотки

L = 20 см = 0,2 м соленоида

В = 1,26 Тл U = IR. (1.36)

d = 0,5 мм = 5 м Из выражения индукции магнитного по-

ля соленоида найдём силу

__________________ тока, текущего по соленоиду:

U -? , (1.37)

где n = N/L – плотность витков (количество витков на единицу длины).

Поскольку полное число витков соленоида N = L/d, выражение (1.37) можно привести к виду

. (1.38)

Сопротивление обмотки найдём по формуле

(1.39)

Здесь ℓ = πDN = πDL/d – длина обмотки (проволоки) соленоида;

S = πd² /4 – площадь поперечного сечения проволоки;

ρ – удельное сопротивление меди.

Подставив эти выражения в формулу (1.39), найдём

(1.40)

Преобразуя уравнение (1.36) с помощью формул (1.38) и (1.40), получим выражение для разности потенциалов на концах обмотки соленоида:

.

Вычислим: = 2,7 (В).

Ответ: U = 2,7 В.

Задача 7. По тороидальной катушке с числом витков N = 1000 течёт ток I = 5 А. Cредний диаметр катушки d = 40 см, радиус витков r = 5 см. Определить напряжённость Н магнитного поля вточках, находящихся от центра тороида на расстояниях а ₁ = 5 см, а ₂ = 20 см и а ₃ = 23 см.

 

Дано: Решение.

N = 1000 Воспользуемся теоремой о циркуляции

вектора напряжённости магнитного

I = 5 А поля. В качестве контуров интегрирования

возьмём окружности с центрами в центре

d = 40 см = 0,4 м тороида и радиусами, равными расстоянию

от центра тороида до заданных точек

r = 5 cм = 5 м (см. рис.1.14). Точка 1 находится на рассто-

янии 5 см от центра тороида. Окружность,

а = 5 см = 5 м проведённая через эту точку, не будет

охватывать ток, поэтому

а = 0,23 м H ₁ = 0 (1.41)

 

а = 0,2 м

___________________

Н , Н , Н -?

 

Рис. 1.14

 

Точка2 лежит на окружности, радиус которой равен среднему радиусу тороида (2 а = d). Плоскость, охватываемую этим контуром, пересекают N витков с током I, следовательно,

или ,

откуда

(1.42)

Точка 3 лежит внутри тороида, но находится на расстоянии > . Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, получим:

. (1.43)

Подставив числовые значения в (1.42) и (1.43), получим

; .

При заданных размерах катушки поле внутри тороида не будет однородным. Оно максимально у внутренней стороны обмотки и уменьшается по мере приближения к наружной стороне обмотки.

Ответ: Н ₁ = 0; Н = 3,98 А/м; Н = 3,46 А/м.

 

Задачи для самостоятельного решения

Магнитное поле прямого тока

Задача 1.1. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного проводника в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии = 4 см от его середины. Длина отрезка проводника ℓ = 20 см, а сила тока в проводнике I = 10 А.

Ответ: В = 46,5 мкТл.

 

Задача 1.2. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся на расстоянии d = 10 см друг от друга в вакууме, текут токи = 20 А и = 30 А одинакового направления. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющей оба проводника, если 1) точка лежит на расстоянии = 2 см левее левого проводника; 2) точка лежит на расстоянии = 3 см правее правого проводника;

Ответ: 1) = 0,25 мТл; 2) = 0,23 мТл;

 

Задача 1.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся на расстоянии d = 9 см друг от друга в вакууме, текут токи = 10 А и = 20 А одинакового направления. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющей оба проводника, если точка лежит на расстоянии = 3 см правее левого проводника.

Ответ: = 0.

 

Задача 1.4. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, скрещенным под прямым углом, текут токи силой = 30 А и = 40 А. Расстояние между проводниками 20 см. Определить магнитную индукцию B в точке, одинакового удаленной от обоих проводников на расстояние, равное d.

Ответ: B = 50 мкТл.

 

Задача 1.5. Бесконечный прямой проводник с током = 30 А согнут под прямым углом. Определить индукцию магнитного поля В в точке, лежащей на продолжении горизонтальной части проводника, на расстоянии а = 30 см от вершины угла.

Ответ: В = 10 мкТл.

Задача 1.6. По бесконечно длинному прямому проводнику, изогнутому так, как это показано на рис.1.15, течёт ток силой I = 120 А. Определить магнитную индукцию В в точке А, если R = 10 см. Закругление представляет собой четверть окружности.

Ответ: В = 0,99 мкТл.

Задача 1.7. По бесконечно длинному прямому проводнику, согнутому под углом = 120º (рис.1.16), течёт ток силой I = 100 A. Найти магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла, и удалённых от его вершины на расстояние а = 10 см.

Ответ: = 0,35 мТл; = 0,12 мТл.

Рис.1.15 Рис.1.16

 

Задача 1.8. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 20 см, текут токи = 40 А и = 80 А в одном направлении. Определить магнитную индукцию В в точке, удалённой от первого проводника на = 12 см и от второго на = 16 см.

Ответ: В = 120 мкТл.

 

Задача 1.9. Два длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d = 5 см один от другого. По проводникам текут в противоположных направлениях одинаковые токи силой I = 10А каждый. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии = 2 см от одного и = 3 см от другого проводника.

Ответ: Н =132 А/м.

 

Задача 1.10. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам текут токи силой = 20 А и = 30 А в одном направлении. Расстояние d между проводниками равно 10 см. Вычислить магнитную индукцию поля В в точке, удалённой от обоих проводников на одинаковое расстояние r = 10 см.

Ответ: В = 87,2 мкТл.

 

Задача 1.11. Определить индукцию магнитного поля B в центре проволочной квадратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течёт ток I = 5 А.

Ответ: В = 37,3 мкТл.

 

Задача 1.12. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течёт ток силой I = 60 А. Длины сторон прямоугольника: а = 30 см и b = 40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

Ответ: В =200 мкТл.

Задача 1.13. По контуру в виде равностороннего треугольника течёт ток силой I = 40 А. длина стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

Ответ: В = 240 мкТл.

Задача 1.14. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника с длиной стороны, равной 20 см, течет ток силой I = 100 А. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шестиугольника.

Ответ: Н = 276 А/м.

Задача 1.15. Проводник согнут в виде ромба со стороной а = 4 см. Углы при вершинах ромба равны и . Определить магнитную индукцию В поля в точке пересечения диагоналей ромба, если ток I в проводнике равен 30 А.

Ответ: В = 0,94 мТл.

 

Задача 1.16. По двум длинным параллельным прямым проводникам текут токи . Определить точку, в которой индукция магнитного поля равна нулю, если токи текут в одном направлении. Расстояние между проводниками равно а.

Ответ: x = .

Задача 1.17. По двум длинным параллельным прямым проводникам текут токи . Определить точку, в которой индукция магнитного поля равна нулю, если токи текут в противоположныхнаправлениях. Расстояние между проводниками равно а.

Ответ: х = 2 а.