Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями и без повторений.

В практической деятельности каждому специалисту приходится иметь дело с разнообразными ситуациями, в которых нужно варьировать событиями. Во многих случаях эти ситуации связаны с решением комбинаторных задач.

Комбинаторика изучает комбинации, подчинённые определённым условиям, которые можно составить из элементов любой природы. Она основана на двух правилах: сложение и умножение.

Правило сложения: если некоторое событие А может произойти m раз, а событие В – n раз, то событие А или В может произойти m + n раз.

Правило умножения: если событие А произойдёт m раз, а событие В – n раз, то событие А и В произойдёт одновременно m n раз.

События совместные, если они могут в данном испытании произойти одновременно, и несовместные, если произойдёт только одно из этих событий.

Рассмотрим 3 типа комбинаторных формул (комбинаций): перестановки, сочетания, размещения.

1. Перестановки – такой тип комбинаций, который связан с нумерацией и перестановкой элементов.

Теорема 1. Число перестановок без повторений вычисляют по формуле: Р_n = n (n = 1 2 … n).

Теорема 2. Число перестановок с повторениями вычисляют по формуле:

Р_n= (К₁, К₂,…,К_n) =

2. Сочетание – такой тип комбинаций, который связан с выбором элементов.

Теорема 3. Число сочетаний без повторений вычисляют по формуле: C_n^m=

Теорема 4. Число сочетаний с повторениями вычисляют по формуле: _n^m=

3. Размещение – такой тип комбинаций, который связан с выбором элементов и с их перестановкой.

Теорема 5. Число размещений без повторений вычисляют по формуле: A_n^m=

Теорема 6. Число размещений с повторениями вычисляют по формуле: _n^m=

5. Статистическое и геометрическое определения вероятности. Примеры.

Классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытания и обладают симметрией возможных исходов. Однако существует большой класс событий, вероятность которых нельзя вычислить с помощью классического определения. Эти события не являются равновозможными. В этом случае используют статистическое определение вероятности. Оно связано с понятием «относительная частота».

Относительная частота события А – это отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу опытов: ω(A) =

Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых условиях, то относительная частота будет колебаться около какого-то числа. Это число можно считать вероятностью события.

Пример: английский учёный Пирсон произвёл 23000 бросаний монеты. Герб появился 11512 раз.

ω(A) = = 0, 5005

Статистической вероятностью будем считать относительную частоту или число, близкое к ней: Р(А) = ω(A) =

В отличие от классической вероятности, статистическая вероятность является опытной величиной. Классическая вычисляется ДО опыта, а статистическая – ПОСЛЕ.

Статистическая вероятность обладает определёнными свойствами:

1. рассматриваемые события должны быть исходами только тех событий, которые могут быть проведены неограниченное число раз в одних и тех же условиях;

2. события должны обладать свойством статистической устойчивости;

3. число испытаний, в которых появилось событие А, должно быть достаточно велико.

Геометрическая вероятность.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрическую вероятность.

Пусть на отрезок L брошена точка, которая может попасть с равной возможностью в любую точку отрезка, тогда вероятность того, что брошенная точка попадёт в отрезок l, будет вычисляться по формуле: Р(А) = , где mes – мера (длина).

Если точка брошена в область G, то вероятность того, что она попадёт в область g, будет вычисляться по формуле: Р(А) = = , где mes – мера (площадь).

Если точку бросить в пространство, то: Р(А) = = , где mes – мера (объём).

Геометрическая вероятность события А – это отношение меры благоприятной области к общей области: Р(А) =

Пример: найти вероятность того, что точка, брошенная в круг, не попадёт в правильный шестиугольник, вписанный в круг.

Решение:

Р(А) = = = 0,33, 33%

Ответ: 33%.