Нормальное распределение и его числовые характеристики.

НСВ (непрерывная случайная величина) называется распределённой по нормальному закону, если её плотность распределения имеет вид:

f(x) = *

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а – математическое ожидание;

s – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения НСВ имеет следующий вид:

F(х)= *

Данный интеграл называется неберущимся, т.е. его нельзя выразить через элементарные функции. Поэтому значение F(x) находятся по таблицам, которые составляются для случая: а=0, =1

Распределение с такими параметрами будет называться нормальным распределением, аего функция распределения будет иметь вид:

Ф(Х)= – функция Лапласа.

Числовые характеристики нормального распределения:

1. M(x)=a

2. D(x)=

3. s(x)= s

25. Распределениеc².

Пусть имеется несколько нормированных нормально распределённых величин: Х_1, Х_2,….Х_n.

Тогда сумма их квадратов: ^_ является случайной величиной, распределённой по закону «c²», с k=n степенями свободы.

Плотность такого распределения:

f(x)=

где Г(x) – гамма функция

Распределение c² определяется одним параметром К (число данных).

Замечание. С увеличением числа степеней свободы распределение c² приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента.

Рассмотрим 2 случайные величины:

Z – нормально распределенная величина;

U – распределенная по закону c² .

Тогда величина T= имеет распределение, называемое t-распределение или распределение Стьюдента с К- степенями свободы.

Замечание: с возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному.

Распределение Фишера-Снедекора.

Рассмотрим две случайные величины U и V, распределённые по закону c², со степенями свободы: k₁ и k₂.

Тогда величина F= будет распределена по закону Фишера-Снедекора.

Замечание. Это распределение определяется 2-мя параметрами: k₁ и k₂.

Нормальная кривая и влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

График нормального распределения представляет собой кривую, которая называется нормальной кривой Гаусса.

Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ox: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает;

Максимум функции плотности вероятностей нормального распределения равен:

Отсюда следует, что с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, то есть сжимается к оси Ox; при убывании нормальная кривая становится более “островершинной” и растягивается в положительном направлении оси Oy:

Замечание: при любых значениях параметров а и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Ox, остается равной единице.