Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...

Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...

Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...

Интересное:

Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...

Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспунденкция

Граф состояний системы. Система дифференциальных уравнений Колмогорова.

2018-01-13

541

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Рассмотрим некоторую систему S с дискретными состояниями , ,…, , которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то потоков событий. Будем считать, что эти потоки простейшие. Тогда вероятность перехода из состояния в состояние за малый промежуток времени равна , т.е. , где – переходная вероятность,

– плотность потока, переводящего систему из состояния в состояние .

Предполагая, что известны плотности вероятности перехода , построим граф состояния системы и над дугами напишем соответствующие плотности . Такой граф называется размеченным графом состояний.

Зная размеченный граф, можно определить вероятности состояний , как функции времени.

Для описания процессов с непрерывным временем используем модель в виде так называемой «Марковской цепи с дискретными состояниями», считая время непрерывным. В этом смысле будем говорить, что имеем дело с непрерывной Марковской цепью.

Рассмотрим однородный процесс, т.е. процесс, в котором не зависит от t.

Пусть система в некоторый момент времени t находится в состоянии с вероятностью . Придадим величине t малое приращение и найдем вероятность того, что в момент времени система будет находиться в том же состоянии .

Это событие может произойти следующим образом: в момент t система уже была в состоянии и за время не вышла из этого состояния или в момент t система была в состоянии и за время перешла в состояние . Вероятность 1-го варианта вычисляется следующим образом: умножается на условную вероятность того, что система за не перейдет ни в какое другое состояние . Поскольку события, состоящие в переходе за время из в несовместны, то вероятность того, что осуществится один из этих переходов равна сумме этих вероятностей, т.е. .

Вероятность того, что не осуществится ни один из этих переходов равна: ,
отсюда вероятность 1-го варианта равна: *( ).

Аналогично вероятность второго варианта равна вероятности (того, что в момент времени t система была в состоянии ), умноженной на условную вероятность перехода за время в состояние : * .
Применяя правило сложения вероятностей, получим:
*(
= .

Разделив последнее равенство на , имеем:
.

Перейдем к пределу при :
, при этом правая часть уравнения не изменится, поскольку она не зависит от .
Т.о, дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

Аналогичные уравнения можно записать для всей вероятностей состояний и все вместе они составят систему уравнений, которые носят название уравнений Колмогорова.
Интегрирование этой системы с учетом условий дает все вероятности состояний.Поскольку совместно с этим условием число уравнений для определения вероятностей составляет n+1, то одно любое из дифференциальных уравнений системы всегда можно опустить.

Обратим внимание на структуру уравнений Колмогорова. Все они построены по вполне определенному правилу, которое можно сформулировать следующим образом: в левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько переходов связано с данным состоянием. Если переход направлен из данного состояния, то соответствующий член имеет знак «–», если в данное состояние, то знак «+». Каждый член равен произведению плотности вероятности соответствующего перехода, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит переход.

Для вычисления предельных вероятностей состояний , необходимо в системе уравнений левые части приравнять к нулю, т.е. найти стационарную точку.
63. Стационарный режим. Время обслуживания.

В теории массового обслуживания и ее приложениях основное внимание уделяется анализу стационарных режимов функционирования систем обслуживания. В стационарном режиме функционирования изучаемая система меняет свое состояние случайным образом, но вероятности состояний не зависят от текущего времени.

Время обслуживания – характеристика функционирования каждого отдельного канала. Этот показатель характеризует не качество обслуживания, а пропускную способность, т.е. показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одной заявки одним каналом. Время обслуживания непостоянно и зависит от многих неконтролируемых факторов. Поэтому время обслуживания – величина случайная. Время обслуживания может быть полностью охарактеризовано с помощью функции распределения случайной величины: F(t)= P( ).

Закон распределения времени обслуживания является показательным. В этом случае функция распределения имеет вид: F(t)=1– , а плотность распределения: f (t)= , где – положительный параметр (интенсивность обслуживания) и .

Параметр определяет среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Основное свойство показательного закона времени обслуживания состоит в том, что закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от времени, которое уже было затрачено на это обслуживание.

Действительно, для условной вероятности того, что обслуживание будет закончено в малом интервале времени ( при условии, что оно длится уже не менее времени имеем:

Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим:
P(, где – величина более высокого периода малости, чем . А это означает, что вероятность окончания обслуживания в течение малого промежутка времени постоянна и зависит от того, сколько времени уже продолжается обслуживание.