Вероятность попадания в заданный интервал нормальной СВ.

Вероятность попадания нормального распределения в заданный интервал вычисляется по формуле:

31. Правило «трех σ»

Найдём вероятность того, что нормально распределенная величина примет значение из интервала(a-3σ, a+3σ)

P (a-3σ <x<a+3σ) = Ф (3) – Ф (-3) = 0, 9973

Следовательно, вероятность того, что значение СВ окажется вне данного интервала будет равна 0,27% и может считаться пренебрежительно малой.

Правило «трёх σ»: если случайная величина распределена нормально, то модуль её отклонения от x=a не превосходит трех сигм.

Начальные и центральные теоретические моменты. Асимметрия и эксцесс.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины :

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины:

μ_k=M ((X-M(X))^k)

μ₂=M ((X-M(X))²)=D(X)

Существует связь между начальными и центральными моментами, и эта связь выражается в след. соотношениях:

μ₂=ν₂ – ν₁²

μ₃=ν₃ – 3ν₁ν₂+2ν₁²

μ₄=ν₄ – 4ν₁ν₃+6 ν₂ –3ν₁⁴

Коэффициентом асимметрии случайной величины называется величина, равная отношению центрального момента 3-го порядка к кубу среднеквадратического отклонения:

На рисунке показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию (); другое (кривая II) – отрицательную ().

Эксцессом случайной величины называется величина равная:

На рисунке представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).

Закон больших чисел: неравенство Маркова, неравенство и теорема Чебышева. Сущность и значение теоремы Чебышева для практики.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому по формулировке Колмогорова совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая, т.е. при большом числе случайных величин их средний результат перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности.

Под законом больших чисел (ЗБЧ) в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Неравенства Маркова.

Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого положительного числа А верно неравенство:

)

Неравенства Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.

Неравенство Чебышева.

Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо след. неравенство:

(1)

где а = М(x), ε >0 –достаточно малое число, но положительное число

Учитывая, что события по модулю |x-a| > и |x-a| < противоположны, неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

(2)

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. Неравенство Чебышева (1) устанавливает верхнюю границу, (2) – нижнюю границу вероятности рассматриваемого объекта.

Рассмотрим частные случаи для некоторых случайных величин:

1) Для случайных величин Х=m величина имеет биномиальное распределение, для неё математическое ожидание M(x)=np, а дисперсия D(x)=npq, тогда неравенство Чебышева будет иметь вид: (3)

2) Для частоты события в n независимых испытаниях, в каждой из которых событие появляется с вероятностью p, а=M(x)=p, а D(x)= , тогда неравенство Чебышева примет вид:

(4)

Теорема Чебышева.

При большом числе n среднее арифметическое случайных величин X₁, X₂,.., Xn сколь угодно мало отличается от неслучайной величины .

Теорема Чебышева имеет вид:

Сущность теоремы Чебышева: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу

(или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.