Вычисление показателей надежности невосстанавливаемых изделий

    Вероятность безотказной работы. Под вероятностью безотказной ра­боты (ВБР) объекта понимается вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет. ВБР является основной количе­ственной характеристикой безотказности объекта на заданном временном интервале. Статистически (по результатам наблюдений) ВБР определяется

где N ₀ — число объектов в начале испытаний; n_i — число отказавших объек­тов в интервале времени ; t — время, для которого определяется ВБР; N (t) — число объектов, исправно работающих на интервале [0, t ].

Статистически вероятность отказа вычисляется как

где N ₀, n_i, t и  имеют те же значения, что и в выражении (1.1).

Плотность вероятности f (t) (частота отказов) статистически определя­

ется по формуле

где ( )— число отказов за интервал времени .

    Средняя наработка до отказа - это математическое ожидание нара­ботки до первого отказа m ₁ (T.) Обозначают Т_ср и называют иногда средним временем безотказной работы

    Статистическая средняя наработка до отказа однотипных объектов равна

где  — время исправной работы j -ro объекта.

Интенсивность отказов — это отношение числа отказавших объектов

в единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исправно работать в данный интервал времени

где ( ) - число отказов объекта за промежуток времени

 

- число исправно работающих объектов в начале интервала времени ; - число исправно работающих объектов в конце интервала времени .

Интенсивность отказов часто называют l-характеристикой, она по­казывает, какая часть объектов выходит из строя в единицу времени по от­ношению к среднему числу исправно работающих объектов.

Примеры решения задач

Задача 1.1. На испытание было поставлено 500 однотипных изделий. За первые 3000 ч отказало 40 изделий, а за интервал времени 3000... 4000 ч отказало еще 25 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа за 3000 и 4000 ч работы. Вычислить плотность и интенсивность отказов изделий в промежутке времени 3000...4000 ч.

Решение.

Вероятность безотказной работы

P( 3000 ) =  =  = 0,92,

где N( 3000 ) =  - å  = 500 - 40 = 4 60

P( 4000 ) =  =  = 0,87,

где N( 4000 ) =  - å  = 500 - ( 40+25 ) = 435

    Вероятность отказа

Q( 3000 ) =  =  = 0,08,

 

Q( 4000 ) =  =  = 0,13,

 

Плотность вероятности отказов в интервале 3000 … 4000 ч

f ( ) =   =  = 0,00005 ( 1 / ч)

Интенсивность отказов в интервале 3000 … 4000 ч

l(t) =  =  = 0,000056 ( 1 / ч)

где N(t) =   =  = 447,5.

 

Задача 1.2. На испытание поставлено 400 изделий. За 3000 часов отка­зало 200 изделий, за следующие 100 часов отказало еще 100 изделий. Опре­делить Р(3000), Р(3100), Р(3050), f(3050), l(3050)

Решение.

Вероятность безотказной работы в течение 3000, 3100 и 3050 ч

Задача 1.3. Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных элек­тронных ламп типа 6Ж4. За первые 3 000 час отказало 80 ламп. За интервал времени 3000—4 000 час отказало еще 50 ламп. Требуется определить часто­ту и интенсивность отказов ламп в промежутке времени 3 000—4 000 час. Ответ: f ( 3500) = 5*10^-31/час; λ(3500) = 5,6*10^-51/час.

 

Задача 1.4. Используя данные задачи 1.1, определить вероятность безотказ­ной работы и вероятность отказа электронных ламп за первые 3 000 час. Ответ: Р(3000) = 0,92; Q(3000) = 0,08.

Задача 1.5. Используя данные задачи 1.1, найти вероятность безотказной ра­боты и вероятность отказа электронных ламп за время 4 000 час.

Ответ: Р(4000) = 0,87; Q (4000) = 0,13.

Задача 1.6. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4 000 час отказало 50 изделий. За интервал времени 4000—4100 час отказало еще 20 изделий. Требуется определить частоту и интенсивность отказов изделий в

промежутке времени 4 000—4 100 час.

Ответ: f (4050) = 2*10^-3 1/час; λ (4050) =5*10^-3 1/час

Задача 1.7. Используя данные задачи 1.6, определить вероятность безотказ­ной работы и вероятность отказа изделий за первые 4 000 час.

Ответ: Р(4 000) = 0,5; Q(4000) = 0,5.

Задача 1.8. Используя данные задачи 1.6, вычислить вероятность безотказной работы и вероятность отказа изделий за время 4100 час.

О т в е т: Р(4100) = 0,3; Q(4 100) = 0,7.

Задача 1.9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал вре­мени 1000—1100 час отказал еще один гироскоп. Требуется найти частоту и интенсивность отказов гироскопов в промежутке времени 1000—1100 час. Ответ: f (1050) = 10^-3 1/час; λ (1 050) = 1,3*10^-3 1/час.

Задача 1.10. На испытание поставлено 400 резисторов. За время наработки 10000 час отказало 4 резистора. За последующие 1000 час отказал еще 1 ре­зистор. Определить частоту и интенсивность отказов резисторов в промежут­ке времени 10000—11000 час.

Ответ: f ( 10500) = 0,25*10^-5 1/час; λ (10500) = 0,253 •10^-5 1/час.

Задача 1.11. Используя данные задачи 1.10, найти вероятность безотказной работы и вероятность отказа резисторов за время 10 000 час.

Ответ: Р(10000) = 0,99; Q(10000) = 0,01.

Задача 1.12. На испытание поставлено N0 изделий. За время t час вышло из строя n(t) штук изделий. За последующий интервал времени Δt вышло из строя n(Δt) изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время t и t+Δt, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале Δt. Исходные данные для решения задачи и ответы приведены в табл. 1.

 

Таблица 1

Исходные данные к задаче 1.12

 

№№ п/п	N0	t	Δt	n(t)	n(At)
1	400	3000	100	200	100
2	1000	3000	1000	80	50
3	100	8 000	100	50	10
4	10	1 000	100	3	2

 

5	10	1000	100	3	1
6	I 000	0	1000	0	20
7	1000	1000	1000	20	25
8	1000	2 000	1000	45	35
9	1000	0	100	0	50
10	45	75	5	44	1

 

Задача 1.13. На испытание поставлено 5 невосстанавливаемых изделий. Пер­вое проработало 215 час, второе - 250 час, третье - 280 час, четвертое - 230 час, пятое - 202 час. Определить среднюю наработку до отказа.

Задача 1.14. Определить среднее время безотказной работы 10 осветительных ламп, если время непрерывной работы каждой из них составило

Таблица 2

Данные к задаче 1.14

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
980	1050	1028	1012	995	986	1020	990	1018	1005