Надежность сложных систем с последовательным

Соединением элементов

 

Пусть система состоит из n последовательно соединенных элементов, вероятности безотказной работы которых обозначим через p₁(t), p₂ (t),..., pn(t). Так как элементы, входящие в состав системы, являются независимыми, то вероятность безотказной работы системы определяется как произведение вероятностей составляющих её элементов

Если вероятности р1(t), р1(t),...., рn(t)близки к 1, то для вычисления

р_с(t) удобно применять приближенную формулу

где q i (t) = 1 - p i (t).

Если элементы равнонадежны, т.е. р₁(t) = р₂(t) =  ... = р_n(t) = р(t), то

где n - число элементов.

Интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов

В частном случае, когда функции надёжности составляющих элементов имеют экспоненциальное распределение с постоянными интенсивностями отказов, функция надёжности системы определяется по формуле

Одной из важнейших характеристик безотказности системы является среднее время жизни. Для случая экспоненциального распределения среднее время жизни системы равно

 

Частота отказов системы с последовательным соединением элементов

Примеры решения задач

Задача 5.1. Система состоит из пяти блоков. Отказ одного из них ведет к от­казу системы. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказ­ной работы в течение времени t, которая равна p₁(t) = 0,98; p₂(t) = 0,99; p₃(t) = 0,97; p4(t) = 0,985; p5(t) = 0,975. Требуется определить вероятность безотказ­ной работы системы.

Решение

Вероятности р₁, р₂,...., р₅ близки к 1, поэтому вычислить р_с(t) удобно

применив приближенную формулу (5.2)

       Вычислим предварительно qi: q1 = 0,02; q2 = 0,01; q3 = 0,03; q4 = 0,015; q5 = 0,025

р с (t) = 1 - ( 0, 02 + 0, 01 + 0, 03 + 0, 015 + 0, 025 ) = 0, 9

 

Задача 5.2. Система состоит из 12600 элементов, отказ каждого из которых ведет к отказу системы. Средняя интенсивность отказов элементов равна 0,32-10^-6 1/ч. Необходимо определить среднюю наработку до отказа, частоту отказов и вероятность безотказной работы системы в течение 50 ч.

Решение

    Интенсивность отказов системы вычисляем следующим образом

тогда

Задача 5.3. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов пер­вого устройства равна Х₁ = 0,16-10^-3 1/ч = must. Интенсивности отказов двух других устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами

l2 = 0,23× t 1/ч; l3 = 0,06× t 1/ч.

 

 

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы си­стемы в течение 100 часов.

 

Решение.

Определяем интенсивность отказов системы

lс = l1 + l2 + l3 = 0,16×  + 0,23× ×100 + 0,06× ×100 =

= 0,00016 +0,0023 + 0,000006 = 0,2466×  (1/час).

    Вероятность безотказной работы в течение 100 часов

 

Задача 5.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной ра­боты каждого из устройств в течение 100 часов равны р1 = 0,95; р2 = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти сред­нюю наработку до первого отказа системы.

Решение.

    Определяем вероятность безотказной работы системы

Рс(100) = 0,95*0,97 = 0,92.

    Определим интенсивность отказов системы

    Наработка системы до отказа

 

Задача 5.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение вре­мени t равна р(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной ра­боты системы, состоящей из 100 таких элементов.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы

 

Задача 5.6. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна 0,95. Система состоит из 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение

    Вероятность безотказной работы элемента

 

 

Задача 5.7. При проектировании системы предполагается, что сложность ее

не должна превышать Nc = 2500 элементов. Необходимо при обсуждении проекта технического задания определить, может ли быть спроектирована система, к которой предъявлено требование Тср.с = 120 ч.

 

Решение

Определим интенсивность отказов системы

Определим интенсивность отказов одного элемента

Определим вероятность безотказной работы одного элемента в течение 120 часов

Обеспечить такую высокую вероятность безотказной работы элемента весьма затруднительно. Поэтому следует либо уменьшить количество эле­ментов системы, либо среднюю наработку до отказа.

Задача 5.8. В системе 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение 1 ч составляет 98%. Предполагается, что все элементы равнонадеж­ные. Требуется вычислить среднюю наработку до первого отказа системы интенсивность отказов элементов и частоту отказов.

Решение

Определим интенсивность отказов системы

 

 

Задача 5.9. Система состоит из 6200 элементов, отказ каждого из которых ве­дет к отказу системы. Средняя интенсивность отказов элементов равна

0,14-10^-4 1/ч. Необходимо определить среднюю наработку до отказа, частоту отказов и вероятность безотказной работы системы в течение 120 ч.

Задача 5.10. Система состоит из четырех устройств. Вероятности безотказной работы каждого из устройств в течение 120 часов равны  = 0,95;  = 0,97;  = 0,90;  = 0,87. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необ­ходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы.