Законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока.

1 Алгебраическая сумма мгновенных значений токов сходящихся в узле:

2 Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС в этом контуре:

 

 

21. Ток и напряжение при последовательном соединении R, L, С

Пусть в схеме рис.5.3, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R, индуктивности L, емкости С, известен ток  При последовательном соединении сопротивлений ток, протекающий через каждый элемент, имеет одно и то же значение.

Уравнение для этой цепи имеет вид

Подставим значение тока в это уравнение

Из полученных выражений для u _r, u _L, u _C видно, что напряжение на сопротивлении r совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол p /2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p /2.

На рис. 5.4 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений для частного случая, когда амплитуда напряжения та катушке  больше амплитуды напряжения на конденсаторе и y _i > 0. Синусоида и _r совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды и _L и и _С сдвинуты относительно тока на угол p /2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Ордината кривой напряжения  состоит из суммы ординат кривых и _r + и _L + и _C = и. Запишем комплекс действующего значения тока и комплексы действующих значений напряжений на основании выражений для мгновенного тока и мгновенных напряжений:  где  действующее Значение тока

В выражениях для  и  учтено, что

Сумме синусоидальных напряжений соответствует сумма изображающих их векторов или комплексов их действующих значений напряжений

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме. Представим его на векторной диаграмме рис. 5.5. Напряжение u _r соответствует по фазе с током i, поэтому вектор  изобразим одинаково направленным с вектором . Напряжение u _L опережает по фазе i на p/2, поэтому вектор  сдвинем относительно вектора  на угол p/2 «вперед» (против направления движения часовой стрелки). Напряжение u _C отстает по фазе от i на p/2, поэтому вектор  сдвинем относительно вектора  на угол p/2 «назад» (по направлению движения часовой стрелки). Эти соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следуют из записи выражений комплексных напряжений , ,  и тока .

Действительно, вектор  получается умножением  на вещественную величину r. Аргумент комплексной величины  такой же, как комплексного тока , поэтому направление вектора  совпадает с направлением вектора . Вектор  получается умножением  на . Умножение тока  на вещественную величину  не изменяет аргумента, а умножение на  увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор  повернут относительно вектора  на угол p/2 «вперед». Вектор  получается делением  на . Деление комплексной величины на  не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на , уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор  повернут относительно вектора  на угол p/2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j часто называют оператором поворота на p/2. Сложив векторы ,  и , получим вектор . Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей – начальную фазу y _u.

Решим, ту же задачу аналитически. Напомним, что был задан ток . На основании последних выкладок можно записать:

Или

где  – комплексное сопротивление.

Это соотношение между комплексными напряжениями и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, имеем

Где

Получаем

Заметим

Так как  и  то

Таким образом, амплитуда U _m и начальная фаза y _u напряжения на зажимах цепи определены, и можно записать выражение для мгновенного напряжения

 

22, 23. Сопротивление выражений для мгновенных значений напряжений с комплексными выраженями

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением

где  – отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е. .

Комплексное сопротивление можно представить в виде

где r = z × cos j – вещественная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением; x = z × sin j – значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением. Очевидно, что

Для схемы, представленной на рис. 5.3, комплексное сопротивление

причем реактивное сопротивление  где  называют соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями. Индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды напряжения на индуктивности и тока

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения тока

Емкостное сопротивление связывает между собой амплитуды напряжения на емкости и тока

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на зажимах емкости, а искомой величиной ток . Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на зажимах емкости u _c, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Следует обратить внимание на то, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими – положительными, а реактивное сопротивление x = x _L – x _C – величина алгебраическая и может быть больше, меньше нуля и равная нулю.

Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление х равно индуктивному сопротивлению x _l, а реактивное сопротивление х ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е. – x _с.

Для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны

Сопротивления  – измеряются в омах.

Размерность

При вычислении индуктивного сопротивления w подставляют в  величину L в [ Гн ] и тогда x _L - получают в омах.

Размерность

При вычислении емкостного сопротивления w подставляют в  величину С в [ Ф ] и тогда x _с получают в омах.