Работа 4. Изучение упругого удара шаров

Цель paботы: экспериментальная проверка законов сохранения импульса и энергии при упругом ударе.

Теоретическое введение

Импульсом материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы матери­альной точки на ее скорость .

Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему .

Замкнутой системой тел называется такая система, на которую не дейс­твуют внешние силы. В замкнутой системе тел выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел является величиной постоянной

, если                              (4.1)

Ударом называется кратковременное взаимодейс­твие двух тел, в результате которого за бесконечно малый промежуток времени происходит конечное изменение импульса. Удар называется центральным, если скорости соударяющихся тел до удара направлены по линии, соединя­ющей центры тел.

При ударе взаимодействие длится очень короткий промежуток времени  и возни­кают большие внутренние силы взаимодействия , так что внешними силами можно пренебречь и систему соударяющихся тел считать замкнутой. Следовательно, при ударе выполняется закон сохранения импульса.

В зависимости от упругих свойств взаимодействующих тел соударения могут проте­кать весьма различно. Принято выделять два крайних случая: абсо­лютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругим называется удар, при котором после взаимодействия тела полностью восстанавливают свою форму. Таких ударов в природе не существует, так как всегда часть энергии затрачивается на необратимую деформацию тел. Однако для некоторых тел, например, стальных шаров, потерями механической энергии при столкновении можно пренебречь и считать удар абсолютно упру­гим. При абсолютно упругом ударе кроме импульса сохраняется и полная механическая энергия.

Полной механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия – это энергия движения, она вычисляется по формуле

 .                                                    (4.2)

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия. При разных типах взаимодействия формулы для вычисления потенциальной энергии разные. В поле тяжести Земли потенциальная энергия вычисляется по формуле

.                                                  (4.3)

В замкнутой механической системе, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется:  

                Е_к + Е_п = const.                                          (4.4)                                  

В случае центрального абсолютно упругого удара двух шаров с массами m₁, m₂ и скоростями до удара и  после удара можно записать законы сохранения импульса и механи­ческой энергии

,                                    (4.5)

                                                           (4.6)

Для экспериментальной проверки закона сохранения импульса необходимо определить скорости шаров до удара, и скорости шаров послеих соударения. На установке правый шар с массой m₁ отводят от по­ложения равновесия на угол a₀ (рисунок 4.1) и отпускают.

Рисунок 4.1. – Схема упругого удара шаров

Используем закон сохранения механической энергии для определения скорости первого шара перед ударом:

                                                               (4.7)    

Высоту h можно выразить через угол отклонения :

  

Подставляя полученное выражение для h в уравнение (4.7), найдем скорость первого шара до удара

                                                                                     (4.8)

Левый шар массой m₂ висит неподвижно (v₂ =0), его начальный импульс равен нулю. Закон сохранения импульса в проекции на ось Х в этом случае будет иметь вид:

_.                                      (4.9)

Величину скорости шаров после удара найдем по углам отскока правого α₁ и левого α₂ шаров:

                                  (4.10)

Подставив выражения для скоростей (4.8) и (4.10) в закон сохранения импульса (4.9), получим формулу:

                                (4.11)

Запишем выражение для кинетической энергии первого шара E_k1 до удара и кинетических энергий двух шаров  и  после удара, подставив в формулу (4.2) выражения (4.8) и (4.10)

                                  

                         (4.12)