Теоретическое введение к работам 5, 6, 7, 8

Вращательным движением абсолютно твердоготела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Момент инерции J материальной точки относительно оси равен произведению массы m точки на квадрат расстояния r от этой точки до оси вращения:

                                                (Т.5.1)

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных элементарных объемов, из которых состоит это тело:

                                        (Т.5.2)

Момент инерции характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении. Момент инерции измеряется в кг·м².

Если известен момент инерции тела относительно главной оси (проходящей через центр масс), то можно определить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной (рисунок Т.5.1). Для этого используется теорема Штейнера (теорема о параллельном переносе оси вращения):

                                      I _р = I _C + mа ²,                                               (Т.5.3)

здесь I _р – момент инерции тела относительно произвольной оси О׳О׳;

I _C – момент инерции тела относительно параллельной оси ОО, проходящей через центр масс С;

a – расстояние между осями.

 

 

Рисунок Т.5.1 – Иллюстрация теоремы Штейнера

Моментом силы относительно неподвижной оси называется произведение силы F на плечо d:

M = F · d.                                           (Т.5.4)

Плечом d силы называется кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Момент силы измеряется в Н·м.

Основное уравнение динамикивращательного движения твердого тела имеет вид:

,                                                  (Т.5.5)

где М - момент силы, действующей на тело, ε - угловое ускорение, J - момент инерции тела относительно оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно оси

                                                        (Т.5.6)

Основное уравнение динамики вращательного движения с учетом (Т.5.6) можно записать в виде

                                              (Т.5. 7)

Экспериментальный способ определения моментов инерции тел основан на наблюдении крутильных колебаний исследуемого тела.

Уравнение вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через точку подвеса, имеет вид:

                                                  (Т.5.8)

где α - угол поворота тела вокруг вертикальной оси;

М - момент упругой силы относительно той же оси, действующей со стороны закрученного на угол α торсиона;

  J - момент инерции тела.

При малых деформациях этот момент пропорционален деформации:

                                                   (Т.5.9)

где k - коэффициент жесткости при кручении.

Уравнение (Т.5.8) с учетом (Т.5.9) примет вид:

.                                                      (Т.5.10)

Или                                                                                                     (Т.5.11)

В общем виде уравнение (Т.5.11) можно записать:

                                     (Т.5.12)

 где  - собственная циклическая частота гармонических колебаний. Решением уравнения (Т.5.12) является функция, описывающая незатухающие гармонические колебания:

                                     (Т.5.13)

где α - угол поворота тела в момент времени t; 

  α₀ - амплитуда колебаний; - фаза колебаний; 

φ₀ - начальная фаза.

Период колебаний тела определяется как

                                            (Т.5.14)

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки?

2. Что называется моментом инерции твердого тела?

3. В каких единицах измеряется момент инерции?

4. От чего зависит момент инерции тела?

5. Что общего и в чем различие между массой и моментом инерции?

6. Чему равен момент инерции кольца? Диска?

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. Что называется моментом силы?

9. Что называется плечом силы?

10. В каких единицах измеряется момент силы?

11.Сформулируйте основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

12. Что называется моментом импульса?

13. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

14. Запишите выражение для кинетической энергии вращающегося тела.

15.Что называется периодом колебаний?

16. Как период колебаний связан с частотой колебаний?